Groupe dérivé

Cet article est une ébauche concernant l'algèbre. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Dans un groupe G, le groupe dérivé, noté D(G) ou [G,G], est le plus petit sous-groupe normal pour lequel le groupe quotient G/[G,G] est abélien. Le groupe dérivé de G est trivial si et seulement si le groupe G est abélien. Le groupe quotient de G par son groupe dérivé est l'abélianisé de G.

Le procédé d'abélianisation permet souvent de prouver que deux groupes ne sont pas isomorphes. Il intervient aussi en géométrie.

Commutateurs

Le commutateur de deux éléments $g \in G$ et $h \in G$ est par définition l'élément $[g, h]$ défini par:

$[g,h]= g h g^{-1} h^{-1}\,$.

Le commutateur mesure le défaut de commutation des éléments g et h :

$gh=[g,h]hg\,$ et donc : $[g,h]=e\Leftrightarrow gh=hg$

En particulier, dans un groupe abélien $G$, tous les commutateurs valent l'élément neutre $e$.

• L'inverse du commutateur de g et de h est le commutateur de h et de g :

$[g,h]^{-1}=[h,g]\,$

• L'ensemble des commutateurs est stable par les automorphismes de G. Pour tout automorphisme $\psi$ et pour tous g et h dans G :

$\psi([g,h])=[\psi(g),\psi(h)]\,$

• Pour tous g, h, et k dans G, on a :

$[g,hk]=[g,h].h[g,k]h^{-1}\,$

Groupe dérivé

L'ensemble des commutateurs est stable par l'inverse mais pas nécessairement par composition. Il n'est pas, en général, un sous-groupe de G. Le sous-groupe engendré par les commutateurs est appelé le groupe dérivé de G, noté D(G) ou [G,G].

$D(G) = [G,G] = < \{ [g,h] \, | \, (g,h) \in G^2 \} >$

En particulier tout élément de D(G) est un produit fini de commutateurs. Comme l'image d'un commutateur par un automorphisme de groupe est un commutateur, le groupe dérivé est stable par les automorphismes de G : c'est un sous-groupe caractéristique. Par suite, c'est un sous-groupe normal.

Exemples : Le groupe dérivé du groupe symétrique $\mathcal{S}_n$ est le groupe alterné $\mathcal{A}_n$.

Abélianisé

Comme [G,G] est un sous-groupe normal de G, on peut définir le quotient de G par [G,G], par définition l'abélianisé de G :

$Ab(G)=G^{ab}=G/[G,G]\,$

Pour tout groupe G, son abélianisé Ab(G) est un groupe abélien.

C'est même le plus grand quotient abélien de G au sens suivant :

Si H est un sous-groupe normal de G, le quotient G/H est abélien si et seulement si H contient le groupe dérivé de G.

En effet, G/H est abélien si et seulement si, pour tous éléments g et h de G, il existe x dans H tel que : gh = xhg, c'est-à-dire si et seulement si (pour tous g et h) le commutateur [g,h] appartient à H.

La propriété précédente se reformule en termes de morphismes :

Tout morphisme de G vers un groupe abélien se factorise à travers Ab(G).

Suite dérivée

La suite dérivée de G est la suite des sous-groupes de G définie par récurrence :

$D^k(G)=D\left[D^{k-1}(G)\right]=[D^{k-1}(G),D^{k-1}(G)]$

Si cette suite est stationnaire à $\{e\}$, c'est-à-dire il existe un naturel non nul n tel que $D^n(G)=\{e\}$, le groupe est dit résoluble.