Groupe dérivé

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Dans un groupe G, le groupe dérivé, noté D(G) ou [G,G], est le plus petit sous-groupe normal pour lequel le groupe quotient G/[G,G] est abélien. Le groupe dérivé de G est trivial si et seulement si le groupe G est abélien. Le groupe quotient de G par son groupe dérivé est l'abélianisé de G.

Le procédé d'abélianisation permet souvent de prouver que deux groupes ne sont pas isomorphes. Il intervient aussi en géométrie.

Commutateurs[modifier | modifier le code]

Le commutateur de deux éléments g \in G et h \in G est par définition l'élément [g, h] défini par[1]:

[g,h]= g h g^{-1} h^{-1}\, .

Le commutateur mesure le défaut de commutation des éléments g et h :

gh=[g,h]hg\, et donc : [g,h]=e\Leftrightarrow gh=hg

En particulier, dans un groupe abélien G , tous les commutateurs valent l'élément neutre e.

  • L'inverse du commutateur de g et de h est le commutateur de h et de g :
[g,h]^{-1}=[h,g]\,
  • L'ensemble des commutateurs est stable par les automorphismes de G. Pour tout automorphisme \psi et pour tous g et h dans G :
\psi([g,h])=[\psi(g),\psi(h)]\,
  • Pour tous g, h, et k dans G, on a :
[g,hk]=[g,h].h[g,k]h^{-1}\,

Groupe dérivé[modifier | modifier le code]

L'ensemble des commutateurs est stable par l'inverse mais pas nécessairement par composition. Il n'est pas, en général, un sous-groupe de G. Le sous-groupe engendré par les commutateurs est appelé le groupe dérivé de G, noté D(G) ou [G,G].

 D(G) = [G,G] = < \{ [g,h] \, | \, (g,h) \in G^2 \} >

En particulier tout élément de D(G) est un produit fini de commutateurs. Comme l'image d'un commutateur par un endomorphisme de groupe est un commutateur, le groupe dérivé est stable par tout endomorphisme de G : c'est un sous-groupe pleinement caractéristique de G. En particulier, c'est un sous-groupe caractéristique, et donc normal, de G.

Exemples :

Abélianisé[modifier | modifier le code]

Comme [G,G] est un sous-groupe normal de G, on peut définir le quotient de G par [G,G], par définition l'abélianisé de G :

Ab(G)=G^{ab}=G/[G,G]\,
Pour tout groupe G, son abélianisé Ab(G) est un groupe abélien.

C'est même le plus grand quotient abélien de G au sens suivant :

Si H est un sous-groupe normal de G, le quotient G/H est abélien si et seulement si H contient le groupe dérivé de G.

En effet, G/H est abélien si et seulement si, pour tous éléments g et h de G, il existe x dans H tel que : gh = xhg, c'est-à-dire si et seulement si (pour tous g et h) le commutateur [g,h] appartient à H.

La propriété précédente se reformule en termes de morphismes :

Tout morphisme de G vers un groupe abélien se factorise à travers Ab(G).

L'abélianisé d'un groupe est son premier groupe d'homologie à coefficients entiers : Gab = H1(G, ℤ).

Suite dérivée[modifier | modifier le code]

La suite dérivée de G est la suite des sous-groupes de G définie par récurrence de la façon suivante :

D^0(G)=G

et

D^k(G)=D\left[D^{k-1}(G)\right]=[D^{k-1}(G),D^{k-1}(G)]

Les sous-groupes de G apparaissant dans sa suite dérivée sont[2] des sous-groupes pleinement caractéristiques de G.
Si cette suite est stationnaire à \{e\}, c'est-à-dire s'il existe un naturel n tel que D^n(G)=\{e\}, le groupe est dit résoluble.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Certains ouvrages définissent le commutateur de g et de h comme g^{-1}h^{-1}gh ; ce n'est pas la convention ici adoptée.
  2. D. J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., Springer, 1996, p. 124.