Théorème de Cayley

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En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique :

Théorème — Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de Sn.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe et g un élément de ce groupe. On définit l'application tg de G dans G comme étant la translation à gauche :

\forall x\in G\qquad t_g(x)=gx.

L'associativité de la loi du groupe équivaut à :

(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_g\circ t_h.

On en déduit en particulier que tg est une permutation (de bijection réciproque t_{g^{-1}}), ce qui permet de définir une application \varphi de G dans S(G) par :

\forall g \in G \qquad \varphi (g)=t_g
  • D'après (\star), \varphi est un morphisme de groupes.
  • Par conséquent, l'image de \varphi, notée Im(\varphi), est un sous-groupe de S(G).
  • Montrons que \varphi est injective. Pour cela considérons g et h deux éléments du groupe. Si tg et th sont égales, alors les images de l'élément neutre par ces deux applications sont aussi égales et g est égal à h. Ceci montre que l'application est injective.
  • L'application de G dans Im(\varphi) qui à tout élément g~ de G associe \varphi(g) est donc, elle aussi, un morphisme injectif. Elle est de plus surjective par construction, donc c'est un isomorphisme de groupes : le théorème est ainsi démontré.

Remarques et exemple[modifier | modifier le code]

Si G est d'ordre n, le groupe Sn dans lequel il est plongé est d'ordre n!.

Reformulation et généralisations[modifier | modifier le code]

Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Historique[modifier | modifier le code]

Le théorème est habituellement attribué à Arthur Cayley et daté de 1854[1]. Cependant il est parfois aussi attribué à Camille Jordan[2], qui l'a exprimé plus clairement et l'a prouvé explicitement dans un traité en 1870[3],[4].

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn=1 », Philos. Mag., vol. 7, no 4,‎ 1854, p. 40–47.
  2. Par exemple dans William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge,‎ 1911 (ISBN 0-486-49575-2)
  3. Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, Gauther-Villars,‎ 1870
  4. Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de l'article : Eric Nummela, « Cayley's Theorem for Topological Groups », American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, vol. 87, no 3,‎ 1980, p. 202-203 (DOI 10.2307/2321608, JSTOR 2321608)

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lemme de Yoneda