Théorème de Cayley

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Théorème de Cayley-Hamilton.

En théorie des groupes, le théorème de Cayley[1] est un résultat élémentaire établissant que tout groupe se réalise comme sous-groupe d'un groupe de permutations :

Théorème — Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de Sn.

Remarques[modifier | modifier le code]

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe et g un élément de ce groupe. On définit l'application tg de G dans G comme étant la translation à gauche :

\forall x\in G\qquad t_g(x)=gx.

L'associativité de la loi du groupe équivaut à :

(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_g\circ t_h.

On en déduit en particulier que tg est une permutation (de bijection réciproque t_{g^{-1}}), ce qui permet de définir une application \varphi de G dans S(G) par :

\forall g \in G \qquad \varphi (g)=t_g
  • D'après (\star), \varphi est un morphisme de groupes.
  • Par conséquent, l'image de \varphi, notée Im(\varphi), est un sous-groupe de S(G).
  • Montrons que \varphi est injective. Pour cela considérons g et h deux éléments du groupe. Si tg et th sont égales, alors les images de l'élément neutre par ces deux applications sont aussi égales et g est égal à h. Ceci montre que l'application est injective.
  • L'application de G dans Im(\varphi) qui à tout élément g~ de G associe \varphi(g) est donc, elle aussi, un morphisme injectif. Elle est de plus surjective par construction, donc c'est un isomorphisme de groupes : le théorème est ainsi démontré.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn=1 », Philos. Mag., vol. 7, no 4,‎ 1854, p. 40–47.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lemme de Yoneda