Théorème de Cayley

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En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire établissant que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique :

Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de Sn.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe et g un élément de ce groupe. On définit l'application tg de G dans G comme étant la translation à gauche :

\forall x\in G\qquad t_g(x)=gx.

L'associativité de la loi du groupe équivaut à :

(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_g\circ t_h.

On en déduit en particulier que tg est une permutation (de bijection réciproque tg−1), ce qui permet de définir une application t de G dans S(G) par :

\forall g \in G \qquad t(g)=t_g.

D'après le premier théorème d'isomorphisme, t réalise donc un isomorphisme entre G et le sous-groupe Im(t) de S(G).

Remarques[modifier | modifier le code]

  • Si G est d'ordre n, le groupe Sn dans lequel il est plongé est d'ordre n!.
  • Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Historique[modifier | modifier le code]

Le théorème est habituellement attribué à Arthur Cayley et daté de 1854[1]. Cependant il est parfois aussi attribué à Camille Jordan[2], qui l'a formulé et prouvé plus explicitement dans un traité en 1870[3],[4] : les permutations tg sont « régulières », c'est-à-dire que pour g ≠ e, tg est sans point fixe et les cycles disjoints dont elle est produit sont tous de même longueur.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Arthur Cayley, « On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 », Philos. Mag., vol. 7, no 4,‎ 1854, p. 40-47.
  2. Par exemple dans (en) William Burnside, Theory of Groups of Finite Order, Cambridge,‎ 2004 (1re éd. 1911) (ISBN 978-0-486-49575-0, lire en ligne), p. 22.
  3. Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, Paris, Gauther-Villars,‎ 1870 (lire en ligne), p. 60-61.
  4. Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de (en) Eric Nummela, « Cayley's Theorem for Topological Groups », Amer. Math. Month., vol. 87, no 3,‎ 1980, p. 202-203 (JSTOR 2321608).

Article connexe[modifier | modifier le code]

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