Théorème de Cayley

En théorie des groupes, le théorème de Cayley est un résultat élémentaire établissant que tout groupe se réalise comme sous-groupe d'un groupe de permutations :

Théorème — Tout groupe G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S(G) des permutations de G. En particulier, si G est un groupe fini d'ordre n, il est isomorphe à un sous groupe de S_n.

Remarques

• Si G est d'ordre n, le groupe S_n dans lequel il est plongé est d'ordre n!.
• Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.
• Ce théorème est utilisé en théorie des représentations de groupes. Soient G un groupe et $(e_g)_{g\in G}$ une base d'un espace vectoriel E de dimension |G|. Le théorème de Cayley indique que G est isomorphe à un groupe de permutations des éléments de la base. Chaque permutation peut être prolongée en un endomorphisme de E qui ici par construction est un automorphisme de E. Cela définit une représentation du groupe, on parle alors de représentation régulière.

Démonstration

Soit G un groupe et g un élément de ce groupe. On définit l'application t_g de G dans G comme étant la translation à gauche :

$\forall x\in G\qquad t_g(x)=gx$.

L'associativité de la loi du groupe équivaut à :

$(\star)\qquad\forall g,h\in G\qquad t_{gh}=t_g\circ t_h$.

On en déduit en particulier que t_g est une permutation (de bijection réciproque $t_{g^{-1}}$), ce qui permet de définir une application $\varphi$ de G dans S(G) par :

$\forall g \in G \qquad \varphi (g)=t_g$

• D'après $(\star)$, $\varphi$ est un morphisme de groupes.
• Par conséquent, l'image de $\varphi$, notée Im($\varphi$), est un sous-groupe de S(G).
• Montrons que $\varphi$ est injective. Pour cela considérons g et h deux éléments du groupe. Si t_g et t_h sont égales, alors les images de l'élément neutre par ces deux applications sont aussi égales et g est égal à h. Ceci montre que l'application est injective.
• L'application de G dans Im($\varphi$) qui à tout élément $g~$ de G associe $\varphi(g)$ est donc, elle aussi, un morphisme injectif. Elle est de plus surjective par construction, donc c'est un isomorphisme de groupes : le théorème est ainsi démontré.