Groupe résoluble

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions.

Histoire[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème d'Abel (algèbre).

La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, etc.).

Définition[modifier | modifier le code]

Un groupe G est résoluble lorsqu'il existe une suite finie G0, G1, …, Gn de sous-groupes de G telle que :

\{e\} = G_0\triangleleft G_1\triangleleft \ldots\triangleleft G_{n-1}\triangleleft G_n = G

où pour tout i ∈ [0,n–1], Gi est un sous-groupe normal de Gi+1 et le groupe quotient Gi+1/Gi est abélien (\{e\} est le sous-groupe trivial de G).

G0, G1, …, Gn est donc une chaîne normale (en) dont tous les facteurs sont abéliens.

La suite G0, G1, …, Gn est dite suite de résolubilité de G. Si pour tout i∈[0,n–1], Gi ≠ Gi+1 (c’est-à-dire qu'il s'agit de sous-groupes propres), on l'appelle suite de résolubilité sans répétition.

Un groupe est résoluble si et seulement si sa suite dérivée est stationnaire à {e}. Le plus petit entier naturel n tel que Dn(G) = {e} est alors appelé la classe de résolubilité de G.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Tout groupe abélien est résoluble.
  • Tout sous-groupe d'un groupe résoluble est résoluble.
  • Tout groupe quotient d'un groupe résoluble (par un sous-groupe normal) est résoluble (ce qu'on peut reformuler en : s'il existe un morphisme de groupes surjectif d'un groupe résoluble sur G, alors G est résoluble).
  • Si H et G/H sont résolubles, alors G est résoluble (en particulier : si H et K sont résolubles, alors H×K est résoluble).
  • Un groupe simple est résoluble si et seulement s'il est commutatif, ce qui a lieu si et seulement si c'est un groupe d'ordre premier (donc cyclique fini).
  • Un groupe fini est résoluble si et seulement si, dans « sa » suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient est d'ordre premier (puisque pour un groupe résoluble, les quotients d'une suite de Jordan-Hölder sont à la fois simples et résolubles).

Exemples[modifier | modifier le code]

Théorème de Feit-Thompson[modifier | modifier le code]

Tout groupe fini d’ordre impair est résoluble.

Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).

Article détaillé : Théorème de Feit et Thompson.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) K. Doerk et T. Hawkes, Finite Soluble Groups, Berlin, de Gruyter, 1992
  • (en) J. C. Lennox et D. J. S. Robinson, The theory of infinite soluble groups, Oxford University Press, 2004

Articles connexes[modifier | modifier le code]

  • Groupe polycyclique (en) (i.e. groupe résoluble noethérien ou, ce qui est équivalent, résoluble par une chaîne normale dont tous les facteurs sont cycliques)
  • Groupe super-résoluble (en) (résoluble par une chaîne normale à facteurs cycliques, avec Gi normal non seulement dans Gi+1 mais dans G)