3-variété

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En mathématiques, une 3-variété est une variété de dimension 3, au sens des variétés topologiques, PL (en) ou différentielles (en dimension 3, ces catégories sont équivalentes).

Certains phénomènes sont liés spécifiquement à la dimension 3, si bien qu'en cette dimension, des techniques particulières prévalent, qui ne se généralisent pas aux dimensions supérieures. Cette spécificité des 3-variétés a conduit à la découverte de leurs relations étroites avec de multiples domaines comme la théorie des nœuds, la théorie géométrique des groupes, la géométrie hyperbolique, la théorie des nombres, la théorie de Teichmüller (en), la théorie quantique des champs topologique (en), les théories de jauge, l'homologie de Floer et les équations aux dérivées partielles.

La théorie des 3-variétés fait partie de la topologie en basses dimensions, donc de la topologie géométrique.

Une idée clé de cette théorie est d'étudier une 3-variété M en considérant des surfaces particulières plongées dans M. Choisir la surface « bien placée » dans la 3-variété mène à l'idée de surface incompressible (en) et à la théorie des variétés de Haken (en) ; la choisir telle que les morceaux du complémentaire soient le plus « agréables » possible conduit aux décompositions de Heegard (en), utiles même dans le cas non-Haken.

Les 3-variétés possèdent souvent une structure additionnelle : l'une des huit géométries de Thurston (dont la plus courante est l'hyperbolique). L'utilisation combinée de cette géométrie et des surfaces plongées s'est révélée fructueuse.

Le groupe fondamental d'une 3-variété donne beaucoup d'informations sur sa géométrie et sa topologie, d'où l'interaction entre théorie des groupes et méthodes topologiques.

Exemples importants de 3-variétés[modifier | modifier le code]

Quelques classes importantes de 3-variétés[modifier | modifier le code]

(Ces classes ne sont pas disjointes.)

Résultats fondamentaux[modifier | modifier le code]

Certains de ces théorèmes ont conservé leurs noms historiques de conjectures.

Commençons par les résultats purement topologiques :

Des théorèmes où la géométrie joue un rôle important dans la preuve :

Des résultats qui relient explicitement géométrie et topologie :

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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