Topologie en basses dimensions

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En mathématiques, la topologie en basses dimensions est la branche de la topologie qui concerne les variétés de dimension inférieure ou égale à quatre. Des sujets représentatifs en sont l'étude des variétés de dimension 3 ou 4 (en) et la théorie des nœuds et des tresses. Elle fait partie de la topologie géométrique.

Un certain nombre d'avancées, à partir des années 1960, ont mis l'accent sur les basses dimensions en topologie. La démonstration par Stephen Smale, en 1961, de la conjecture de Poincaré en dimensions supérieures, montra que les dimensions 3 et 4 étaient plus difficiles : elles nécessitaient de nouvelles méthodes, alors que les dimensions supérieures offraient assez de liberté pour réduire les problèmes aux méthodes calculatoires de la chirurgie. La conjecture de géométrisation de Thurston, formulée à la fin des années 1970, offrait un cadre suggérant que géométrie et topologie étaient intimement liées en basses dimensions, et la preuve par Thurston de la géométrisation pour les variétés de Haken (en) utilisait une gamme d'outils issus de domaines mathématiques jusqu'alors peu liés. La découverte par Vaughan Jones de son polynôme, au début des années 1980, donna une nouvelle orientation à la théorie des nœuds et fit apparaître des connexions, encore non complètement élucidées, entre topologie en basses dimensions et physique mathématique. En 2002, Grigori Perelman annonça une preuve de la conjecture de Poincaré en dimension 3 à l'aide du flot de Ricci introduit par Richard Hamilton, une idée empruntée à l'analyse géométrique (en).

De façon générale, ces progrès ont mené à une meilleure intégration de ce domaine dans le reste des mathématiques.

Quelques théorèmes typiquement spécifiques aux basses dimensions[modifier | modifier le code]

Quelques théorèmes illustrent le fait que beaucoup des outils de base de l'étude des variétés de dimensions supérieures ne s'appliquent pas en basses dimensions.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Classification des variétés (en)

Liens externes[modifier | modifier le code]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Low-dimensional topology » (voir la liste des auteurs)