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« Algèbre de Calkin » : différence entre les versions

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La classification des [[Opérateur normal|opérateurs normaux]] sur un espace de Hilbert séparable ''H'' se simplifie beaucoup lorsqu'on utilise des notions comme « modulo les compacts » ou « essentiel ».
La classification des [[Opérateur normal|opérateurs normaux]] sur un espace de Hilbert séparable ''H'' se simplifie beaucoup lorsqu'on utilise des notions comme « modulo les compacts » ou « essentiel ».


Le ''{{Lien|trad=Essential spectrum|spectre essentiel}}'' σ{{ind|e}}(''T'') d'un opérateur ''T'' ∈ ''B''(''H'') est défini comme le [[Spectre d'un opérateur linéaire|spectre]] de ''T'' privé de ses [[Point isolé|points isolés]] de [[Multiplicité (mathématiques)#Multiplicité d'une valeur propre|multiplicité (géométrique)]] finie. On démontre<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Analytic K-Homology|auteur={{Lien|lang=de|Nigel Higson}}|auteur2={{Lien|lang=de|trad=John Roe (Mathematiker)|John Roe (mathématicien)|texte=John Roe}}|éditeur=[[Oxford University Press|OUP]]|year=2000|url=https://books.google.fr/books?id=r-Icer50QoIC&pg=PA32|page=32}}.</ref> qu'il coïncide avec le spectre de la classe π(''T'') ∈ ''B''(''H'')/''K''(''H''). On peut remarquer<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=R. G. Douglas|titre=C*-Algebra Extensions and K-Homology|éditeur=[[Princeton University Press|PUP]]|year=1980|url=https://books.google.fr/books?id=PligK9cU3_cC&pg=PA7|page=7}}.</ref> que tout [[Théorème de Borel-Lebesgue|compact]] non vide de [[Nombre complexe|ℂ]] est le spectre essentiel d'un opérateur normal sur ''H''.
Le ''{{Lien|trad=Essential spectrum|spectre essentiel}}'' d'un opérateur ''T'' ∈ ''B''(''H'') est défini comme le [[Spectre d'un opérateur linéaire|spectre]] de ''T'' privé de ses [[Point isolé|points isolés]] de [[Multiplicité (mathématiques)#Multiplicité d'une valeur propre|multiplicité (géométrique)]] finie. On démontre<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Analytic K-Homology|auteur={{Lien|lang=de|Nigel Higson}}|auteur2={{Lien|lang=de|trad=John Roe (Mathematiker)|John Roe (mathématicien)|texte=John Roe}}|éditeur=[[Oxford University Press|OUP]]|year=2000|url=https://books.google.fr/books?id=r-Icer50QoIC&pg=PA32|page=32}}.</ref> qu'il coïncide avec le spectre de la classe π(''T'') ∈ ''B''(''H'')/''K''(''H''). On peut remarquer<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=R. G. Douglas|titre=C*-Algebra Extensions and K-Homology|éditeur=[[Princeton University Press|PUP]]|year=1980|url=https://books.google.fr/books?id=PligK9cU3_cC&pg=PA7|page=7}}.</ref> que tout [[Théorème de Borel-Lebesgue|compact]] non vide de [[Nombre complexe|ℂ]] est le spectre essentiel d'un opérateur normal sur ''H''.


Deux opérateurs bornés ''S'' et ''T'' sur ''H'' sont dits ''unitairement équivalents modulo K''(''H'')<ref name=BDF73>{{Chapitre|lang=en|auteur=L. G. Brown|auteur2=R. G. Douglas|auteur3=P. A. Fillmore|titre=Unitary equivalence modulo the compact operators and extensions of C*-algebras|titre ouvrage=Proceedings of a Conference on Operator Theory|collection=Lecture Notes in Mathematics|numéro dans collection=345|year=1973|page=58-128|doi=10.1007/BFb0058917}}.</ref> s'il existe un [[opérateur unitaire]] ''U'' ∈ ''B''(''H'') tel que ''U''*''SU – T'' soit compact. Cette [[relation d'équivalence]] est ''a priori'' plus fine que celle d'équivalence unitaire des images dans l'algèbre de Clakin car le [[Groupe (mathématiques)|groupe]] des unitaires de celle-ci est constitué non seulement des images des unitaires de ''B''(''H''), mais aussi de celles des puissances de l'{{Lien|trad=Shift operator|opérateur de décalage}} et de son [[Opérateur adjoint|adjoint]]<ref name=BDF73/> (le [[groupe quotient]] de ses [[composantes connexes]] est donc [[Groupe cyclique|cyclique infini]]).
Deux opérateurs bornés ''S'' et ''T'' sur ''H'' sont dits ''unitairement équivalents modulo K''(''H'') s'il existe un [[opérateur unitaire]] ''U'' ∈ ''B''(''H'') tel que
''U''*''SU – T'' soit compact. Dans ce cas, leurs images dans ''B''(''H'')/''K''(''H'') sont unitairement équivalentes.


Ces deux notions sont liées : deux opérateurs ''normaux'' sur ''H'' sont unitairement équivalents modulo ''K''(''H'') si (et seulement si) ils ont même spectre essentiel. En effet, [[Hermann Weyl]], [[John von Neumann]] et I. David Berg<ref>{{Article|lang=en|auteur=I. D. Berg|titre=An Extension of the Weyl-von Neumann theorem to normal operators|revue=[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]]|vol=160|p.=365-371|year=1971|url=http://www.ams.org/journals/tran/1971-160-00/S0002-9947-1971-0283610-0/}}.</ref> ont démontré que tout opérateur normal sur ''H'' est somme d'un opérateur diagonal et d'un opérateur compact arbitrairement petit.
Ces deux notions sont liées : deux opérateurs ''normaux'' sur ''H'' sont unitairement équivalents modulo ''K''(''H'') si (et seulement si) ils ont même spectre essentiel. En effet, [[Hermann Weyl]], [[John von Neumann]] et I. David Berg<ref>{{Article|lang=en|auteur=I. D. Berg|titre=An Extension of the Weyl-von Neumann theorem to normal operators|revue=[[Transactions of the American Mathematical Society|Trans. Amer. Math. Soc.]]|vol=160|p.=365-371|year=1971|url=http://www.ams.org/journals/tran/1971-160-00/S0002-9947-1971-0283610-0/}}.</ref> ont démontré que tout opérateur normal sur ''H'' est somme d'un opérateur diagonal et d'un opérateur compact arbitrairement petit.


On peut aller plus loin en relativisant par « modulo les compacts » la notion de normalité elle-même. Un opérateur borné ''T'' sur ''H'' est dit ''essentiellement normal'' si sa classe π(''T'') est un élément normal de l'algèbre de Calkin, autrement dit : si ''TT''* – ''T''*''T'' est compact. Ces opérateurs sont plus généraux que les simples perturbations compactes d'opérateurs normaux (penser à l'{{Lien|trad=Shift operator|opérateur de décalage}}), mais on arrive encore à les classifier modulo les compacts, par le théorème suivant de {{Lien|lang=de|Lawrence G. Brown|texte=Brown}}-{{Lien|lang=de|Ronald G. Douglas|texte=Douglas}}-{{Lien|lang=de|Peter Fillmore|texte=Fillmore}}<ref>{{Harvsp|Douglas|1980}}.</ref>, central dans la théorie des {{Lien|lang=de|trad=Erweiterung (C*-Algebra)|Extension de C*-algèbre|texte=extensions de C*-algèbres}} (la « BDF-théorie ») : deux opérateurs essentiellement normaux ''S'' et ''T'' sont unitairement équivalents modulo ''K''(''H'') si (et seulement si) ils ont même spectre essentiel et pour tout complexe {{math|''λ''}} hors de ce spectre, l'[[Opérateur de Fredholm|indice de Fredholm]] de ''S'' – {{math|''λ''}}[[Application identité|{{math|id}}{{ind|''H''}}]] est égal à celui de {{nobr|''T'' – {{math|''λ''id}}{{ind|''H''}}.}}
On peut aller plus loin en relativisant par « modulo les compacts » la notion de normalité elle-même. Un opérateur borné ''T'' sur ''H'' est dit ''essentiellement normal'' si sa classe π(''T'') est un élément normal de l'algèbre de Calkin, autrement dit : si ''TT''* – ''T''*''T'' est compact. Ces opérateurs sont plus généraux que les simples perturbations compactes d'opérateurs normaux<ref>Par exemple, l'indice de Fredholm de l'opérateur de décalage est –1 alors que tout opérateur de Fredholm normal est d'indice 0.</ref>, mais on arrive encore à les classifier modulo les compacts, par le théorème suivant de {{Lien|lang=de|Lawrence G. Brown|texte=Brown}}-{{Lien|lang=de|Ronald G. Douglas|texte=Douglas}}-{{Lien|lang=de|Peter Fillmore|texte=Fillmore}}<ref>{{Harvsp|Douglas|1980}}.</ref>, central dans la théorie des {{Lien|lang=de|trad=Erweiterung (C*-Algebra)|Extension de C*-algèbre|texte=extensions de C*-algèbres}} (la « BDF-théorie ») : deux opérateurs essentiellement normaux ''S'' et ''T'' sont unitairement équivalents modulo ''K''(''H'') si (et seulement si) ils ont même spectre essentiel et pour tout complexe {{math|''λ''}} hors de ce spectre, l'[[Opérateur de Fredholm|indice de Fredholm]] de ''S'' – {{math|''λ''}}[[Application identité|{{math|id}}{{ind|''H''}}]] est égal à celui de {{nobr|''T'' – {{math|''λ''id}}{{ind|''H''}},}} et il suffit pour cela que π(''S'') et π(''T'') soient unitairement équivalents<ref name=BDF73/>.


==Automorphismes de l'algèbre de Calkin==
==Automorphismes de l'algèbre de Calkin==
Dans le cadre de la BDF-théorie mentionnée ci-dessus, les trois auteurs ont posé en 1977 la question<ref>{{Article|lang=en|auteur=L. G. Brown|auteur2=R. G. Douglas|auteur3=P. A. Fillmore|titre=Extensions of C*-algebras and K-Homology|revue= Ann. Math.|year=1977|vol=105|p.=265-324}} ({{p.|270}}, avant la définition 1.7).</ref> de la [[Groupe trivial|trivialité]] du [[Groupe (mathématiques)|groupe]] des [[Automorphisme#Automorphismes intérieurs et extérieurs|automorphismes extérieurs]] de l'algèbre de Calkin, c'est-à-dire la question de savoir si elle possède des automorphismes autres que les automorphismes intérieurs (de la forme ''a'' ↦ ''uau''* pour un certain élément unitaire ''u'' de l'algèbre). Pour la C*-algèbre ''B''(''H''), on montre facilement que tout automorphisme est intérieur, en utilisant qu'il [[Permutation|permute]] les opérateurs de [[Rang (mathématiques)#Rang d'une application linéaire|rang]] 1. Or les opérateurs de rang fini sont compacts donc invisibles dans l'algèbre de Calkin, à laquelle cette preuve ne s'étend donc pas.
Dans le cadre de la BDF-théorie mentionnée ci-dessus, les trois auteurs ont posé en 1977 la question<ref>{{Article|lang=en|auteur=L. G. Brown|auteur2=R. G. Douglas|auteur3=P. A. Fillmore|titre=Extensions of C*-algebras and K-Homology|revue= Ann. Math.|year=1977|vol=105|p.=265-324|jstor=1970999}} ({{p.|270}}, avant la définition 1.7).</ref> de la [[Groupe trivial|trivialité]] du groupe des [[Automorphisme#Automorphismes intérieurs et extérieurs|automorphismes extérieurs]] de l'algèbre de Calkin, c'est-à-dire la question de savoir si elle possède des automorphismes autres que les automorphismes intérieurs (de la forme ''a'' ↦ ''uau''* pour un certain élément unitaire ''u'' de l'algèbre). Pour la C*-algèbre ''B''(''H''), on montre facilement que tout automorphisme est intérieur, en utilisant qu'il [[Permutation|permute]] les opérateurs de [[Rang (mathématiques)#Rang d'une application linéaire|rang]] 1. Or les opérateurs de rang fini sont compacts donc invisibles dans l'algèbre de Calkin, à laquelle cette preuve ne s'étend donc pas.


La question est restée longtemps ouverte, jusqu'à ce qu'elle reçoive, en 2007 et 2011, une réponse surprenante : ce problème est [[Décidabilité#Décidabilité, indécidabilité d'un énoncé dans un système logique|indécidable]] dans ZFC (la [[théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel]] avec [[axiome du choix]]) :
La question est restée longtemps ouverte, jusqu'à ce qu'elle reçoive, en 2007 et 2011, une réponse surprenante : ce problème est [[Décidabilité#Décidabilité, indécidabilité d'un énoncé dans un système logique|indécidable]] dans ZFC (la [[théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel]] avec [[axiome du choix]]) :
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==Notes et références==
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Version du 23 mai 2015 à 13:15

En analyse fonctionnelle — une branche des mathématiques — l'algèbre de Calkin[1] d'un espace de Banach E est le quotient de l'algèbre de Banach B(E) des opérateurs bornés sur E par l'idéal fermé K(E) des opérateurs compacts. C'est donc encore une algèbre de Banach, pour la norme quotient. Elle permet de classifier entre autres les opérateurs normaux sur un espace de Hilbert, modulo les opérateurs compacts.

Opérateurs de Fredholm

Le théorème d'Atkinson[2] garantit que pour tout opérateur borné T sur E, les propriétés suivantes sont équivalentes :

Par conséquent, les opérateurs de Fredholm forment un ouvert de B(E), comme image réciproque, par l'application continue de passage au quotient, de l'ouvert des inversibles de l'algèbre de Calkin.

C*-algèbres

Si H est un espace de Hilbert, B(H)/K(H) hérite d'une structure de C*-algèbre quotient. Si H est séparable et de dimension infinie alors sa C*-algèbre de Calkin :

  • est simple, c'est-à-dire sans idéal (bilatère) non trivial car dans B(H), l'idéal K(H) est maximal (c'est en fait le seul idéal fermé non trivial[3]) ;
  • possède un ensemble d'idempotents autoadjoints deux à deux orthogonaux (c'est-à-dire tels que pq = qp = 0) ayant la puissance du continu[4] ;
  • n'a, par conséquent, pas de représentation séparable non nulle, c'est-à-dire que pour tout espace de Hilbert séparable H', il n'existe pas d'*-morphisme non nul de B(H)/K(H) dans B(H').

Applications

La classification des opérateurs normaux sur un espace de Hilbert séparable H se simplifie beaucoup lorsqu'on utilise des notions comme « modulo les compacts » ou « essentiel ».

Le spectre essentiel (en) d'un opérateur T ∈ B(H) est défini comme le spectre de T privé de ses points isolés de multiplicité (géométrique) finie. On démontre[5] qu'il coïncide avec le spectre de la classe π(T) ∈ B(H)/K(H). On peut remarquer[6] que tout compact non vide de ℂ est le spectre essentiel d'un opérateur normal sur H.

Deux opérateurs bornés S et T sur H sont dits unitairement équivalents modulo K(H)[7] s'il existe un opérateur unitaire U ∈ B(H) tel que U*SU – T soit compact. Cette relation d'équivalence est a priori plus fine que celle d'équivalence unitaire des images dans l'algèbre de Clakin car le groupe des unitaires de celle-ci est constitué non seulement des images des unitaires de B(H), mais aussi de celles des puissances de l'opérateur de décalage et de son adjoint[7] (le groupe quotient de ses composantes connexes est donc cyclique infini).

Ces deux notions sont liées : deux opérateurs normaux sur H sont unitairement équivalents modulo K(H) si (et seulement si) ils ont même spectre essentiel. En effet, Hermann Weyl, John von Neumann et I. David Berg[8] ont démontré que tout opérateur normal sur H est somme d'un opérateur diagonal et d'un opérateur compact arbitrairement petit.

On peut aller plus loin en relativisant par « modulo les compacts » la notion de normalité elle-même. Un opérateur borné T sur H est dit essentiellement normal si sa classe π(T) est un élément normal de l'algèbre de Calkin, autrement dit : si TT* – T*T est compact. Ces opérateurs sont plus généraux que les simples perturbations compactes d'opérateurs normaux[9], mais on arrive encore à les classifier modulo les compacts, par le théorème suivant de Brown-Douglas-Fillmore[10], central dans la théorie des extensions de C*-algèbres (de) (la « BDF-théorie ») : deux opérateurs essentiellement normaux S et T sont unitairement équivalents modulo K(H) si (et seulement si) ils ont même spectre essentiel et pour tout complexe λ hors de ce spectre, l'indice de Fredholm de S – λidH est égal à celui de T – λidH, et il suffit pour cela que π(S) et π(T) soient unitairement équivalents[7].

Automorphismes de l'algèbre de Calkin

Dans le cadre de la BDF-théorie mentionnée ci-dessus, les trois auteurs ont posé en 1977 la question[11] de la trivialité du groupe des automorphismes extérieurs de l'algèbre de Calkin, c'est-à-dire la question de savoir si elle possède des automorphismes autres que les automorphismes intérieurs (de la forme a ↦ uau* pour un certain élément unitaire u de l'algèbre). Pour la C*-algèbre B(H), on montre facilement que tout automorphisme est intérieur, en utilisant qu'il permute les opérateurs de rang 1. Or les opérateurs de rang fini sont compacts donc invisibles dans l'algèbre de Calkin, à laquelle cette preuve ne s'étend donc pas.

La question est restée longtemps ouverte, jusqu'à ce qu'elle reçoive, en 2007 et 2011, une réponse surprenante : ce problème est indécidable dans ZFC (la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix) :

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Calkin-Algebra » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) John Williams Calkin, « Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hilbert space », Ann. Math., vol. 42,‎ , p. 839-873 (JSTOR 1968771).
  2. ↑ (en) Frederick Valentine Atkinson, « The normal solvability of linear equations in normed spaces », Mat. Sb., vol. 28, no 70,‎ , p. 3-14.
  3. ↑ (en) Selwyn Ross Caradus, William Elmer Pfaffenberger et Bertram Yood, Calkin Algebras and Algebras of Operators on Banach Spaces, Marcel Dekker, (lire en ligne), p. 81.
  4. ↑ Il suffit de choisir un ensemble, ayant la puissance du continu, de parties infinies d'une base hilbertienne de H dont les intersections deux à deux sont finies, et de prendre (modulo les compacts) les projecteurs orthogonaux sur les sous-espaces fermés engendrés par ces parties.
  5. ↑ (en) Nigel Higson et John Roe, Analytic K-Homology, OUP, (lire en ligne), p. 32.
  6. ↑ (en) R. G. Douglas, C*-Algebra Extensions and K-Homology, PUP, (lire en ligne), p. 7.
  7. ↑ a b et c (en) L. G. Brown, R. G. Douglas et P. A. Fillmore, « Unitary equivalence modulo the compact operators and extensions of C*-algebras », dans Proceedings of a Conference on Operator Theory, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 345), (DOI 10.1007/BFb0058917), p. 58-128.
  8. ↑ (en) I. D. Berg, « An Extension of the Weyl-von Neumann theorem to normal operators », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 160,‎ , p. 365-371 (lire en ligne).
  9. ↑ Par exemple, l'indice de Fredholm de l'opérateur de décalage est –1 alors que tout opérateur de Fredholm normal est d'indice 0.
  10. ↑ Douglas 1980.
  11. ↑ (en) L. G. Brown, R. G. Douglas et P. A. Fillmore, « Extensions of C*-algebras and K-Homology », Ann. Math., vol. 105,‎ , p. 265-324 (JSTOR 1970999) (p. 270, avant la définition 1.7).
  12. ↑ (en) N. C. Phillips et N. Weaver, « The Calkin algebra has outer automorphisms », Duke Math. J., vol. 139,‎ , p. 185-202.
  13. ↑ (en) I. Farah, « All automorphisms of the Calkin algebra are inner », Ann. Math., vol. 173,‎ , p. 619-661 (arXiv 0705.3085).
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