Opérateur compact

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En mathématiques, et plus précisément en analyse fonctionnelle, un opérateur compact (ou application compacte) est une application continue entre deux espaces vectoriels topologiques localement convexes X et Y envoyant les parties bornées de X sur les parties relativement compactes de Y. Les applications linéaires compactes généralisent les applications linéaires continues de rang fini.

La théorie est particulièrement intéressante pour les espaces vectoriels normés ou les espaces de Banach. En particulier, dans un espace de Banach, l'ensemble des opérateurs compacts est fermé pour la topologie forte. Mieux, dans un espace de Hilbert, un opérateur compact est limite d'opérateurs bornés de rangs finis. Cette dernière propriété n'est pas vérifiée dans certains espaces de Banach.

Les premiers opérateurs compacts sont apparus avec les équations intégrales et l'étude des espaces fonctionnels. La résolution formelle d'équations intégrales simples font apparaître un opérateur à noyau dont la compacité tient à des propriétés d'équicontinuité. À travers ce problème est apparue une autre classe importante d'opérateurs, les opérateurs de Fredholm. La perturbation par des opérateurs compacts préserve la propriété d'être de Fredholm et l'indice de Fredholm : c'est le théorème de stabilité de l'indice.

Définition[modifier | modifier le code]

Un opérateur T de X dans Y est dit compact lorsque T est continu et que toute partie bornée de X est envoyée sur une partie relativement compacte de Y[1]. (Lorsque T est linéaire, la seconde condition suffit pour qu'il soit borné, donc continu si de plus X est un espace vectoriel normé.)

La somme de deux opérateurs compacts ou le produit d'un opérateur compact par un scalaire est encore un opérateur compact. L'ensemble K(X, Y) des opérateurs compacts de X dans Y forme donc un sous-espace vectoriel réel de ℒ(X, Y). En outre, le composé d'un opérateur borné et d'un opérateur compact est un opérateur compact. En particulier, K(X) = K(X, X) est un idéal bilatère de ℒ(X). Il est possible d'introduire la structure quotient ℒ(X)/K(X), appelée algèbre de Calkin (en).

Si la topologie de X est définie par une norme, les parties bornées de X sont exactement celles incluses dans une boule. Sous cette condition, un opérateur T est compact si et seulement s'il envoie la boule unité de X sur une partie relativement compacte de Y. De manière équivalente, on demande que pour toute suite bornée xn de X, la suite Txn admette une valeur d'adhérence.

Exemples[modifier | modifier le code]

Opérateurs de rang fini[modifier | modifier le code]

Soient X un espace de Banach et T un opérateur borné sur X. Si T est de rang fini n, il existe n formes linéaires continues \varphi_1,\dots,\varphi_n\in X' et n vecteurs x_1,\dots,x_n\in X tels que

\forall x\in X,\quad Tx=\sum_{1\le k\le n}\varphi_k(x)x_k.

Les opérateurs bornés de rang fini sont compacts car dans un espace de dimension finie, tout fermé borné est compact. Par conséquent, si X est de dimension finie, tout opérateur borné de Y dans X est compact.

Remarquons que l’ensemble des opérateurs compacts étant fermé, tout opérateur qui est limite dans ℒ(Y, X) d’opérateurs de rang fini est compact. On dit que X a la propriété d'approximation (« PA ») lorsque la réciproque est vraie pour tout espace de Banach Y. En particulier si X a la PA alors, dans ℒ(X), les opérateurs compacts sont exactement les limites d'opérateurs de rang fini. Parmi les espaces ayant la PA, citons par exemple les espaces ayant une base de Schauder, comme les espaces Lp([0,1]), 1 ≤ p < +∞, ou les espaces de Hilbert séparables.

Opérateurs à noyau[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Opérateur à noyau.

Opérateurs compacts dans les espaces de Hilbert[modifier | modifier le code]

Spectre des opérateurs compacts[modifier | modifier le code]

Comme précédemment, on considère un opérateur compact T, endomorphisme de l'espace de Banach X sur le corps des complexes. On suppose que l'espace X est de dimension infinie. Le spectre de T est lui-même compact, au plus dénombrable, et ne comportant aucun point d'accumulation, à l'exception éventuelle de 0. Il s'agit donc

  • soit d'un ensemble fini contenant 0 ;
  • soit d'un ensemble infini contenant 0. Dans ce cas les éléments du spectre autres que 0 peuvent être ordonnés en une suite vérifiant |λ1| ≥ |λ2| ≥ … ≥ |λn| ≥ … et de limite nulle.

Notamment, pour un réel δ > 0 donné, il n'y a qu'un nombre fini d'éléments λ appartenant au spectre et de module supérieur à δ.

Les complexes λ ≠ 0 appartenant au spectre jouissent de propriétés communes car l'opérateur T – λI est alors de Fredholm, d'indice 0. Notamment les éléments λ du spectre autres que 0 sont tous des valeurs propres, c'est-à-dire que T – λI est non injectif. Et la dimension du noyau de T – λI est finie, égale à la codimension de l'image.

Il est possible de définir, comme en dimension finie, le sous-espace caractéristique associé à une telle valeur propre λ : c'est la réunion des ker (T – λI)n, et l'on démontre qu'il existe un plus petit entier k tel que ker (T – λI)k = ker (T – λI)k+1 (la suite croissante des noyaux est donc stationnaire à partir du rang k et le sous-espace caractéristique est simplement ker (T – λI)k, qui est de dimension finie).

Pour cette valeur de l'entier k, on a la somme directe X=\ker (T-\lambda {\rm I})^k\oplus{\rm Im}(T-\lambda {\rm I})^k, l'opérateur T – λI induisant sur le premier espace un endomorphisme nilpotent, sur le second une bijection.

Quant à l'élément 0 du spectre, il peut s'agir ou non d'une valeur propre.

Il peut arriver que le spectre soit réduit à 0, comme dans l'exemple[2] de l'opérateur de Volterra (en) T défini sur L2([0,1]) par (Tf)(x)= \int_0^xf(y)\mathrm dy.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) J. M. Ayerbe Toledano, T. Domínguez Benavides et G. López Acedo, Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory, Springer,‎ 1997 (ISBN 978-3-76435794-8, lire en ligne), p. 13, dans le cas où X et Y sont des espaces de Banach et T n'est définie que sur une partie de X.
  2. (en) Ronald G. Douglas (en), Banach algebra techniques in Operator Theory, Academic Press, 1972, p. 133