Théorème de Borel-Lebesgue

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En topologie de ℝⁿ, le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble $A$ de vecteurs :

• $A$ est fermé et borné ($A$ est borné s'il existe une constante positive majorant la norme de tous les éléments de $A$) ;
• $A$ vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de $A$ par des ouverts de ℝⁿ on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Cette seconde propriété est en fait la définition générale d'un compact en topologie : un espace est compact si et seulement s'il est séparé et a cette propriété. Le théorème de Borel-Lebesgue peut donc se lire : un sous-ensemble de ℝⁿ est compact si et seulement s'il est fermé et borné.

Suite à ce théorème, beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de ℝⁿ comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de ℝⁿ est compact si et seulement s'il a la propriété de Borel-Lebesgue.

Le théorème se généralise à tout espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, mais (d'après le théorème de compacité de Riesz) n'est pas valable en dimension infinie. Il est mentionné dans l'article topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.

Démonstration

• Le segment $[a,b]$ est compact :

Soit Ω un recouvrement ouvert du segment et $M$ le sous-ensemble du segment composé des éléments $m$ tels que le segment $[a,m]$ admette un sous-recouvrement fini extrait de Ω. L'objectif est de montrer que $M$ contient $b$.

• $M$ contient $a$ : en effet, il existe un ouvert ω de Ω contenant $a$ car Ω est un recouvrement du segment. En conséquence, la sous-famille de Ω formée du seul ouvert ω constitue un sous-recouvrement fini du segment $[a,a]=\{a\}$.
• $M$ est un intervalle : en effet, soient $m$ un élément de $M$ et $m'$ un réel compris entre $a$ et $m$. Alors le sous-recouvrement fini contenant le segment $[a,m]$ est aussi un sous-recouvrement fini de $[a,m']$, ce qui montre que $m'$ est aussi élément de $M$ et donc que $M$ est un intervalle.
• $M$ est donc soit de la forme $[a,c[$ avec $a<c$, soit de la forme $[a,c]$ avec $c<b$, soit égal à $[a,b]$, et l'on va exclure les deux premiers de ces trois cas, en raisonnant par l'absurde.
  • $M$ n'est pas de la forme $[a,c[$ avec $a<c$ : sinon, soit ω un ouvert de Ω contenant $c$ (un tel ouvert existe car Ω est un recouvrement ouvert de $[a,b]$ et $c$ un point de ce segment). Il existe un $m$ strictement compris entre $a$ et $c$ tel que cet ouvert ω contienne le segment $[m,c]$. Un tel $m$ appartient alors à $[a,c[=M$, donc il existe un sous-recouvrement fini Ω' de $[a,m]$. La sous-famille de Ω formée de ω et des ouverts de Ω' constitue un sous-recouvrement fini de $[a,c]$, donc $c$ appartient à $M$, ce qui contredit l'hypothèse $M=[a,c[$.
  • $M$ n'est pas de la forme $[a,c]$ avec $c<b$ : sinon, soit Ω' un sous-recouvrement fini contenant le segment $[a,c]$. Il existe un ouvert ω de Ω' contenant $c$. Il existe un $m$ strictement compris entre $c$ et $b$ tel que cet ouvert ω contienne le segment $[c,m]$. Alors Ω' constitue un sous-recouvrement fini non seulement de $[a,c]$, mais de $[a,m]$, donc $m$ appartient à $M$, ce qui (puisque $m>c$) contredit l'hypothèse $M=[a,c]$.

La seule possibilité restante est que $M$ soit égal à $[a,b]$ lui-même. Ceci montre que $b$ est un élément de $M$. Il est possible d'extraire de Ω un sous-recouvrement fini de $[a,b]$, ce qui montre la compacité du segment.

• Un sous-ensemble de ℝ non borné n'est pas compact.

Considérons le recouvrement Ω composé des intervalles $]-n,n[$, où $n$ décrit l'ensemble des entiers strictement positifs. Dire que le sous-ensemble S de ℝ n'est pas borné revient à dire qu'il n'est pas possible d'extraire de Ω un sous-recouvrement fini de S, ce qui entraîne que S n'est pas compact.

• Les compacts de ℝ sont les fermés bornés.

Soit C un compact de ℝ, alors il est fermé (car tout compact l'est), et la proposition précédente montre qu'il est borné.

Réciproquement soit C un fermé borné de ℝ, alors c'est un fermé d'un segment donc d'un compact, donc C est compact.

• Un produit de segments est compact dans ℝⁿ.

Ce résultat est une conséquence du théorème de Tychonov, qui stipule que tout produit de compacts est compact.

• Les compacts de ℝⁿ sont les fermés bornés.

Soit C un compact de ℝⁿ, la démonstration sur ℝ du caractère borné d'un compact s'applique encore, C est donc borné. Il est de plus fermé car tout compact l'est.

Réciproquement soit C un fermé borné de ℝⁿ, la démonstration précédente montre que c'est un fermé d'un compact, donc C est compact.

Voir aussi

Lemme de Cousin