Théorème de Borel-Lebesgue

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En topologie de ℝn, le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes[1] d'un ensemble A de vecteurs :

  • A est fermé et borné (A est borné s'il existe une constante positive majorant la norme de tous les éléments de A) ;
  • A est compact, c'est-à-dire[2] qu'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement de A par des ouverts de ℝn on peut extraire un sous-recouvrement fini.

L'essentiel du théorème est :

tout fermé borné de ℝn est compact

car la réciproque est immédiate[3].

Ce théorème se généralise à tout espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie mais n'est pas valable en dimension infinie.

Contre-exemple en dimension infinie[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de compacité de Riesz.

Considérons l'espace vectoriel ℝ[X] des polynômes à coefficients réels. On prend pour norme d'un polynôme le maximum des valeurs absolues de ses coefficients. Soit B la boule unité fermée. Elle est clairement fermée et bornée. Cependant, les éléments Xn de B sont à distance 1 les uns des autres donc forment une suite sans sous-suite convergente donc ici sans valeur d'adhérence, ce qui empêche B d'être compacte.

Démonstration[modifier | modifier le code]

  • Le segment [a, b] est compact (1re démonstration)
    Soit Ω un recouvrement ouvert du segment et M le sous-ensemble du segment composé des éléments m tels que le segment [a, m] admette un sous-recouvrement fini extrait de Ω. L'objectif est de montrer que M contient b.
    • M contient a : en effet, il existe un ouvert ω de Ω contenant a car Ω est un recouvrement du segment. En conséquence, la sous-famille de Ω formée du seul ouvert ω constitue un sous-recouvrement fini du segment [a, a] = {a}.
    • M est un intervalle : en effet, soient m un élément de M et m' un réel compris entre a et m. Alors le sous-recouvrement fini contenant le segment [a, m] est aussi un sous-recouvrement fini de [a, m'], ce qui montre que m' est aussi élément de M et donc que M est un intervalle.
    • M est donc soit de la forme [a, c[ avec a < c, soit de la forme [a, c] avec c < b, soit égal à [a, b], et l'on va exclure les deux premiers de ces trois cas, en raisonnant par l'absurde.
      • M n'est pas de la forme [a, c[ avec a < c : sinon, soit ω un ouvert de Ω contenant c (un tel ouvert existe car Ω est un recouvrement ouvert de [a, b] et c un point de ce segment). Il existe un m strictement compris entre a et c tel que cet ouvert ω contienne le segment [m, c]. Un tel m appartient alors à [a, c[ = M, donc il existe un sous-recouvrement fini Ω' de [a, m]. La sous-famille de Ω formée de ω et des ouverts de Ω' constitue un sous-recouvrement fini de [a, c], donc c appartient à M, ce qui contredit l'hypothèse M = [a, c[.
      • M n'est pas de la forme [a, c] avec c < b : sinon, soit Ω' un sous-recouvrement fini contenant le segment [a, c]. Il existe un ouvert ω de Ω' contenant c. Il existe un m strictement compris entre c et b tel que cet ouvert ω contienne le segment [c, m]. Alors, Ω' constitue un sous-recouvrement fini non seulement de [a, c], mais de [a, m], donc m appartient à M, ce qui (puisque m > c) contredit l'hypothèse M = [a, c].
        La seule possibilité restante est que M soit égal à [a, b] lui-même. Ceci montre que b est un élément de M. Il est possible d'extraire de Ω un sous-recouvrement fini de [a, b], ce qui montre la compacité du segment.
  • Le segment [a, b] est compact (2e démonstration)
    Comme ℝ est à base dénombrable (de base les intervalles ouverts d'extrémités rationnelles), on peut se limiter au cas d'un recouvrement ouvert dénombrable Ω = (ωn)n∈ℕ du segment. Si Ω n'admettait pas de sous-recouvrement fini, il existerait, pour tout n, un point xn du segment n'appartenant à aucun des ωk pour kn, et cette suite (xn)n∈ℕ n'aurait pas de sous-suite convergente, ce qui est impossible d'après le cas élémentaire du théorème de Bolzano-Weierstrass.
  • Un produit de segments est compact.
    Ce résultat est une conséquence du théorème de Tykhonov[4], d'après lequel tout produit de compacts est compact.
  • Tout fermé borné den est compact.
    En effet, c'est un fermé d'un produit de segments donc d'un compact, or tout fermé d'un compact est compact.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Suite à ce théorème, beaucoup d'auteurs préfèrent définir les compacts de ℝn comme les ensembles fermés et bornés de vecteurs. Dans ce cas le théorème se lit : un sous-ensemble de ℝn est compact si et seulement s'il a la propriété de Borel-Lebesgue. Une autre approche est de définir les compacts, dans ℝn, comme les parties séquentiellement compactes : le fait que ces parties sont exactement les fermés bornés est élémentaire.
  2. Plus précisément : A est dit quasi-compact s'il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, et compact s'il est de plus séparé, mais dans ℝn qui est séparé, ces deux notions sont équivalentes.
  3. Dans un espace séparé, tout compact est fermé et dans un espace métrique, il est de plus borné car recouvert par un sous-recouvrement fini de la famille des boules ouvertes de centre fixé et de rayons entiers positifs.
  4. Une démonstration du théorème de Tychonov et de ses conséquences pour la topologie de ℝn dans S. Lang, Analyse réelle, Paris, InterEditions, 1977 (ISBN 978-2-72960059-4), p. 33

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lemme de Cousin