Opérateur de Fredholm

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Fredholm.

En mathématiques, l'opérateur de Fredholm est un concept d'analyse fonctionnelle qui porte le nom du mathématicien suédois Ivar Fredholm (1866-1927). Il s'agit d'un opérateur borné L entre deux espaces de Banach X et Y ayant un noyau de dimension finie et une image de codimension finie. On peut alors définir l'indice de l'opérateur comme

{\rm ind} L = \dim( \ker L) - {\rm codim}( {\rm Im} L)

Sous ces hypothèses, l'espace image de L est fermé.

Propriétés des opérateurs de Fredholm[modifier | modifier le code]

Stabilité de l'indice

L'ensemble des opérateurs de Fredholm entre deux espaces de Banach X et Y constitue un ouvert de l'espace des opérateurs bornés muni de la norme d'opérateur. Plus précisément, ajouter à un opérateur de Fredholm L donné un opérateur de norme suffisamment petite redonne un opérateur de Fredholm de même indice.

Ajouter à un opérateur de Fredholm un opérateur compact redonne également un opérateur de Fredholm de même indice.

Composition

La composition de deux opérateurs de Fredholm donne un opérateur de Fredholm, d'indice égal à la somme des deux composants.

Inversion

Tout opérateur de Fredholm est inversible modulo des opérateurs de rangs finis.

Références[modifier | modifier le code]

Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]

Articles connexes[modifier | modifier le code]