Théorème de Baire

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 Espace de Baire redirige ici. Ne pas confondre avec l’espace de Baire.

Le théorème de Baire, dit aussi lemme de Baire, est un théorème de topologie dû au mathématicien René Baire.

Espaces de Baire[modifier | modifier le code]

On dit qu'un espace topologique est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si toute union dénombrable de fermés d'intérieurs vides est d'intérieur vide, ou encore, si le seul ouvert maigre est le vide. Le lemme (ou théorème) de Baire donne des conditions suffisantes pour que certains espaces soient de Baire.

Énoncé du théorème de Baire[modifier | modifier le code]

Le théorème de Baire est constitué de trois affirmations :

  1. Tout espace localement compact est de Baire. Par conséquent : un espace localement compact non vide n'est pas la réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide ;
  2. Tout espace complètement métrisable est de Baire ;
  3. Tout ouvert d'un espace de Baire est de Baire.

Un espace E est dit « complètement de Baire » si tout fermé de E est de Baire[1]. Pour les espaces localement compacts et les espaces complètement métrisables, cette propriété supplémentaire est automatique.

Quelques applications[modifier | modifier le code]

Analyse[modifier | modifier le code]

Plus généralement[7],[8], il suffit de supposer que , où D est un ensemble au plus dénombrable arbitraire.

Topologie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Vincent Kieftenbeld, Three Topics in Descriptive Set Theory, Denton, Texas, UNT, (lire en ligne), p. 24.
  2. (es) F. Sunyer i Balaguer (ca) et E. Corominas, « Condiciones para que una función infinitamente derivable sea un polinomio », Rev. Mat. Hisp.-Amer., vol. 4, no 14,‎ , p. 26-43.
  3. (en) H. D. Brunk et R. P. Boas, « Necessary and Sufficient Condition for a Polynomial », Amer. Math. Monthly, vol. 66, no 7,‎ , p. 599 (lire en ligne).
  4. (en) William F. Donoghue, Distributions and Fourier transforms, Academic Press, , 2e éd. (ISBN 978-0-08087344-2, lire en ligne), p. 53.
  5. (en) Ralph P. Boas, Jr., A Primer of Real Functions, CUP, (lire en ligne), p. 67-68.
  6. (en) « If […] then f coincides with a polynomial », sur MathOverflow.
  7. Hervé Queffélec et Claude Zuily, Analyse pour l'agrégation, Dunod, , 4e éd. (lire en ligne), p. 225 et 238.
  8. (en) Boris Tsirelson (en), « Measure and category — 9a1 Theorem », sur Université de Tel Aviv,‎ .
  9. Un tel espace contient même un sous-espace homéomorphe à l'espace de Baire ℕω : voir « Ensemble parfait ».
  10. La dimension d'un tel espace est donc égale à son cardinal en supposant l'hypothèse du continu, mais aussi sans cette hypothèse : (en) Lorenz Halbeisen et Norbert Hungerbühler (de), « The cardinality of Hamel bases of Banach spaces », East-West Journal of Mathematics, vol. 2,‎ , p. 153-159 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Théorème d'Osgood (de)