Espace disqué

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En mathématiques, un espace disqué est un espace vectoriel muni d'une topologie et d'une bornologie satisfaisant des conditions de compatibilité. Un espace vectoriel muni d'une topologie compatible avec sa structure d'espace vectoriel est appelé un espace vectoriel topologique. Un espace vectoriel muni d'une bornologie compatible avec sa structure d'espace vectoriel est appelé un espace vectoriel bornologique. Un espace vectoriel topologique qui est un espace vectoriel bornologique est un espace disqué si sa topologie est localement convexe et sa bornologie est compatible avec sa topologie (on dit également dans ce cas que cette bornologie est adaptée). Le contexte des espaces vectoriels bornologiques et des espaces disqués clarifie la théorie de la dualité des espaces vectoriels topologiques, les propriétés des espaces d'applications linéaires continues et celles des espaces d'applications bilinéaires bornées ou hypocontinues. Cette clarification est essentiellement due à Lucien Waelbroeck (de), Christian Houzel et leurs collaborateurs.

Bornologies[modifier | modifier le code]

Notion de bornologie[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble. Une bornologie sur E est un ensemble vérifiant les conditions suivantes :

(B1) Si et , alors .

(B2) Si et alors .

(B3) Pour tout [1].

Les éléments de sont appelés les bornés de cette bornologie (ou les bornés de E quand cela ne prête pas à confusion) et E, muni d'une bornologie , est appelé un ensemble bornologique[2].

Soit . On dit que est une base (ou un système fondamental de parties bornées de si tout ensemble de est inclus dans un ensemble de .

Une bornologie est dite plus fine qu'une bornologie si .

Si est une familles d'espaces bornologiques, on définit sur la bornologie produit, dont les éléments sont les parties dont toutes les projections sont bornées. On notera cette bornologie.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les parties finies d'un ensemble E forment une bornologie qui est la plus fine et est appelée la bornologie discrète.

L'ensemble est la moins fine des bornologies sur E. Elle est appelée la bornologie triviale.

Si E est un espace topologique séparé, l'ensemble des sous-ensembles compacts de E est une bornologie. Dans un espace uniforme, l'ensemble des sous-ensembles précompacts est une bornologie, qui est moins fine que la précédente si E est séparé.

Soit E un espace lipschitzien, c'est-à-dire un ensemble muni d'une famille d'écarts (ou jauge) (ou de toute autre jauge Lipschitz-équivalente). Si et , la boule ouverte de centre et de rayon r pour l'écart est l'ensemble des tels que . Un ensemble A est dit borné dans E si pour tout il existe un rayon et un indice tel que A est inclus dans la boule . Les ensembles bornés ainsi définis constituent une bornologie, appelée la bornologie canonique de E.

Applications bornées[modifier | modifier le code]

Soit E et F deux ensembles, munis de bornologies et respectivement. Une application de E dans F est dite bornée si elle transforme les bornés de E en bornés de F. La catégorie des espaces bornologiques a pour morphismes les applications bornées. Si et sont deux bornologies d'un même ensemble E, est plus fine que si, et seulement si l'application identité de E est bornée de dans . L'ensemble des applications bornées de E dans F est noté

Ensembles équibornés d'applications[modifier | modifier le code]

Avec les notations qui précèdent, un sous-ensemble H de l'ensemble des applications de E dans F est dit équiborné si pour tout borné A de E,

est borné dans F. Les ensembles équibornés forment une bornologie , appelée équibornologie.

Bornologies initiale et finale ; limites[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble, une famille d'ensembles bornologiques et une famille d'applications. La bornologie initiale de E pour la famille est la moins fine pour laquelle les sont toutes bornées.

Par suite, la catégorie des bornologies admet des limites projectives et inductives : si est un système projectif d'espaces bornologiques E est la limite projective des dans la catégorie des ensembles, est l'application canonique, on obtient la limite projective des en munissant E de la bornologie initiale pour les . La limite inductive d'un système inductif d'espaces bornologiques s'obtient de manière duale.

Espaces vectoriels bornologiques[modifier | modifier le code]

Ne pas confondre un espace vectoriel bornologique, tel que défini ci-dessous à la suite de [3], et un espace bornologique (notion due à Nicolas Bourbaki).

Soit E un espace vectoriel à gauche sur un corps valué K. Une bornologie sur E est dite vectorielle si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

(i) L'addition est une application bornée de dans E ;
(ii) Si et , alors  ;
(iii) Si , alors son enveloppe équilibrée (c'est-à-dire la réunion des pour ) appartient à .

Un espace vectoriel muni d'une bornologie vectorielle est appelé un espace vectoriel bornologique (EVB). Un tel espace est dit séparé si le seul sous-espace vectoriel borné est .

Un sous-ensemble A d'un espace vectoriel à gauche sur le corps valué K est dit équilibré si si . Il est dit disqué si, de plus, il est convexe. Un ensemble disqué est appelé un disque. Un ensemble A est un disque si, et seulement si pour toute famille finie de scalaires telle que , on a .

Les espaces vectoriels bornologiques les plus importants ont une bornologie vectorielle de type convexe, à savoir que la condition (iii) est remplacée par la condition plus forte

(iii') Si , alors son enveloppe disquée (c'est-à-dire le plus petit disque qui le contient) appartient à .

La valeur absolue induit sur K bornologie canonique . Pour une bornologie sur E satisfaisant les conditions (i) et (iii), (ii) équivaut à la condition

(ii') Si et , alors .

La catégorie EVB des espaces vectoriels bornologiques admet des limites projectives et inductives.

Espaces disqués[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soit E un espace vectoriel topologique (EVT) muni d'une bornologie vectorielle. Sa topologie et sa bornologie sont dites compatibles si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

(a) Tout voisinage de 0 (pour ) absorbe tout borné de , c'est-à-dire : quel que soit le voisinage V de 0 et le borné B, il existe tel que  ;

(b) L'adhérence (pour ) d'un borné de est bornée.

On dit encore, dans ce cas que la bornologie est adaptée à , et que E, muni de cette bornologie, est un espace disqué.

Lemme — Si E et F dont des espaces disqués, une application linéaire continue de E dans F est bornée.

Les espaces disqués forment donc une catégorie EVD dont les morphismes sont les applications linéaires continues. Cette catégorie admet des limites projectives et inductives qui commutent aux deux foncteurs d'oubli EVD → EVT et EVD → EVB.

Les espaces disqués les plus importants sont localement convexes : un espace disqué E est dit localement convexe lorsque K est le corps des réels ou des complexes, la topologie de E est localement convexe, et sa bornologie est de type convexe.

Remarque[modifier | modifier le code]

Les conditions suivantes sont équivalentes : (1) E est un espace (localement convexe) bornologique ; (2) en munissant E de sa bornologie canonique, quel que soit l'espace disqué localement convexe F, une application linéaire de E dans F est bornée si, et seulement si elle est continue.

Exemples[modifier | modifier le code]

La topologie d'un espace topologique localement convexe est définie par une famille de semi-normes et chacune de ces semi-normes définit un écart . Par conséquent, tout espace vectoriel topologique localement convexe E a une structure lipschitzienne. Celle-ci est déterminée par la topologie localement convexe de E, et la bornologie canonique de cette structure lipschitzienne est appelée la bornologie canonique de E. L'espace vectoriel topologique E, muni de sa bornologie canonique, est un espace disqué. Un ensemble A appartient à la bornologie canonique de E si, et seulement si A est absorbé par tout voisinage de 0. La bornologie canonique de E, notée , est la bornologie la moins fine adaptée à la topologie de E. On a (en allant de la bornologie adaptée la plus fine à la moins fine sur E),

, c, et sont, respectivement, l'ensemble des parties convexes compactes, l'ensemble des parties compactes, l'ensemble des parties relativement compactes et l'ensemble des parties précompactes; est la bornologie adaptée la plus fine, constituée des ensembles A inclus dans un sous-espace de dimension finie et bornés dans cet espace, et est la bornologie adaptée engendrée par , constituée quant à elle des parties finies. L'espace localement convexe E, muni de l'une quelconque de ces bornologies, est un espace disqué.

Espaces d'applications linéaires[modifier | modifier le code]

Equibornologie d'un espace d'applications linéaires bornées[modifier | modifier le code]

Soit et des EVB et l'espace vectoriel des applications linéaires bornées de dans . L'équibornologie de cet espace, notée , est vectorielle, et , muni de son équibornologie, est donc un EVB.

Bornologie équicontinue[modifier | modifier le code]

Soit et deux EVT. Un ensemble H d'applications linéaires continues est dit équicontinu si pour tout voisinage V de 0 dans , il existe un voisinage U de 0 dans tel que . Les sous-ensembles équicontinus de l'espace des applications linéaires continues de dans forme une bornologie vectorielle de cet espace, notée , et fait donc de un EVB.

Topologie d'un espace d'applications linéaires continues[modifier | modifier le code]

Soit un EVB, dont la bornologie est notée , et un EVT. L'espace des applications continues peut être munie de la topologie de la convergence uniforme sur les bornés de , appelée -topologie. Les ensembles

.

forment un système fondamental dans l'espace vectoriel topologique ainsi obtenu, noté

Espaces d'applications linéaires continues entre espaces disqués[modifier | modifier le code]

Soit , deux espaces disqués, où , et l'espace des applications linéaires continues de dans . On peut munir cet espace de la bornologie équicontinue ou de l'équibornologie , donc de la bornologie qui est vectorielle. On peut d'autre part munir de la -topologie de la convergence uniforme sur les bornés de . Cette topologie et la bornologie sont compatibles, donc , muni de cette topologie et de cette bornologie, est un espace disqué . Celui-ci a les propriétés suivantes : est séparé si, et seulement si F est séparé ; si F est quasi-complet, est quasi-complet. Si et sont, respectivement, un système projectif et un système inductif dans EVD, ayant pour limite projective (resp. inductive) E (resp. F), on a à un isomorphisme près

.

Espaces d'applications linéaires continues entre espaces localement convexes[modifier | modifier le code]

Rappelons qu'un espace uniforme séparé est dit complet si tout filtre de Cauchy converge et qu'un espace localement convexe F est dit quasi-complet si toute partie bornée et fermée de F est complète. On dira de même qu'un espace disqué E est quasi-complet si toute partie bornée fermée de E est complète.

(1) Si E est un espace bornologique muni de sa bornologie canonique, alors toute partie équibornée de est équicontinue, et par suite .

(2) Si E est tonnelé, alors pour toute bornologie adaptée de E.

En particulier, il résulte de ce qui précède que si F est séparé, alors est séparé ; si F est quasi-complet, alors est quasi-complet lorsque E est tonnelé, ou lorsque E est un espace bornologique et .

Espaces d'applications bilinéaires[modifier | modifier le code]

Espaces d'applications bilinéaires bornées[modifier | modifier le code]

Soit , , F trois espaces vectoriels bornologiques. On note l'espace des applications bilinéaires bornées de dans F. Cet espace est muni de son équibornologie. Soit , et pour tout , désignons par l'application linéaire de dans F : . Cette application est bornée, donc appartient à . Ce dernier espace étant muni de son équibornologie, l'application

est un isomorphisme d'espaces vectoriels bornologiques.

On en déduit par récurrence que si ..., et F sont des espaces vectoriels bornologiques, on a un isomorphisme d'espaces vectoriels bornologiques

.

Espaces d'applications bilinéaires hypocontinues[modifier | modifier le code]

Soit , deux espaces vectoriels bornologiques dont les bornologies sont notées et respectivement, et F un espace vectoriel topologique. Notons l'espace vectoriel des applications bilinéaires -hypocontinues de dans F.

Lemme — Tout application appartenant à est bornée.

En conséquence, l'espace vectoriel est muni de la topologie de la convergence uniforme sur les bornés de la bornologie produit et de la bornologie formée des parties équibornées et équi-hypocontinues, ce qui en fait un espace disqué . D'autre part, l'espace est un espace disqué muni de sa topologie de la convergence uniforme sur les bornés de et de sa bornologie des ensembles équibornés et équicontinus (voir supra). On obtient de même l'espace disqué . L'application

est un isomorphisme d'espaces disqués.

Si , sont tonnelés (en tant qu'espaces localement convexes), , , et , ce dernier espace étant celui des applications bilinéaires séparément continues (ou, de manière équivalente, hypocontinues) de dans F, qui est un espace disqué muni de la topologie de la convergence uniforme sur les bornés de et de la bornologie des parties équibornées. L'isomorphisme d'espaces disqués

implique que, sous l'hypothèse considérée, est séparé (resp. séparé et quasi-complet) si F est séparé (resp. séparé et quasi-complet).

Ces résultats s'étendent au cas d'applications multilinéaires[4]. En particulier, soit des espaces disqués tonnelés dont les bornologies sont notées respectivement, et F un espace localement convexe. En notant l'espace des applications n-linéaires séparément continues de dans F, on a un isomorphisme d'espaces disqués

et cet espace est séparé (resp. quasi-complet) si F est séparé (resp. quasi-complet).

Applications bilinéaires continues[modifier | modifier le code]

Soit , deux espaces de Fréchet et F une espace localement convexe. Toute application bilinéaire séparément continue de dans F est continue.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Certains auteurs omettent la condition (B3) et disent qu'une bornologie est couvrante lorsque cette condition est satisfaite (Bourbaki 2006).
  2. La terminologie « espace bornologique », parfois employée, du reste très logiquement (de même qu'on dit « espace topologique »), risque de prêter à confusion avec la notion tout à fait différente d'espace (localement convexe) bornologique : voir infra.
  3. Houzel 1972
  4. Bourbaki 2006, p. III.50, exerc. 14.

Références[modifier | modifier le code]