Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki

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Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle, dû à Stefan Banach dans le cas d'un espace vectoriel normé séparable[1] et généralisé en 1938 par Leonidas Alaoglu puis Nicolas Bourbaki[2].

Si E est un -espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0, alors l'ensemble polaire V° de V, défini par

est une partie compacte du dual topologique E' pour la topologie faible-*.

Dans le cas où E est un espace vectoriel normé, cela revient à dire que la boule unité fermée de E' (pour la norme de la topologie forte) est *-faiblement compacte, ou encore, que toute partie de E' fortement bornée est *-faiblement relativement compacte.

Dans un espace de Banach réflexif (en particulier un espace de Hilbert), la topologie faible-* coïncide avec la topologie faible et toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Le dual topologique E', muni de la topologie faible-*, est un sous-espace du produitE.

Dans ce produit, V° est inclus dans un produit de segments (car V est absorbant) donc dans un compact (d'après le théorème de Tychonoff dans le cas séparé — équivalent à une version affaiblie de l'axiome du choix).

Enfin, V° est fermé, comme intersection des fermés Fx,y qui définissent la linéarité d'un élément de ℝE :

et des fermés Gv qui imposent les contraintes sur V :

En effet, une forme linéaire sur E qui vérifie ces contraintes est automatiquement continue, car bornée sur le voisinage V de 0.

Version séquentielle[modifier | modifier le code]

Si un espace vectoriel normé E est séparable alors la boule unité B de son dual topologique (munie de la topologie faible-*) est métrisable donc sa compacité équivaut à sa compacité dénombrable et à sa compacité séquentielle. On peut démontrer directement cette dernière[1] de façon plus élémentaire : Soient (ℓn) une suite dans B, et D une partie dénombrable dense de E. Par le procédé diagonal de Cantor, on peut extraire de (ℓn) une sous-suite qui converge simplement sur D. Par équicontinuité, cette sous-suite converge alors simplement sur E tout entier (donc sa limite appartient à B). Si E n'est pas séparable, le compact B peut ne pas être séquentiellement compact : un contre-exemple est fourni par E = = C(βℕ).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b S. Banach, Théorie des opérations linéaires, (lire en ligne).
  2. L'affirmation par Dieudonné de l'antériorité de Bourbaki sur Alaoglu est reprise par divers auteurs mais fermement contestée dans (en) Robert S. Doran (en), « Constantinescu, Corneliu, C*-algebras, vol. 1, Banach spaces », MR,‎ , p. 354 (Math Reviews 1850358, lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]