Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki

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Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle, dû à Stefan Banach dans le cas d'un espace vectoriel normé séparable[1] et généralisé en 1938 par Leonidas Alaoglu puis Nicolas Bourbaki[2].

Si E est un -espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0, alors l'ensemble polaire V° de V, défini par

V^{\circ}=\{\ell \in E'\mid \forall v\in V\quad|\ell(v)|\le1\},

est une partie compacte du dual topologique E' pour la topologie faible-*.

Dans le cas où E est un espace vectoriel normé, cela revient à dire que la boule unité fermée de E' (pour la norme de la topologie forte) est *-faiblement compacte, ou encore, que toute partie de E' fortement bornée est *-faiblement relativement compacte.

Dans un espace de Banach réflexif (en particulier un espace de Hilbert), la topologie faible-* coïncide avec la topologie faible et toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Le dual topologique E', muni de la topologie faible-*, est un sous-espace du produitE.

Dans ce produit, V° est inclus dans un produit de segments (car V est absorbant) donc dans un compact (d'après le théorème de Tychonoff dans le cas séparé — équivalent à une version affaiblie de l'axiome du choix).

Enfin, V° est fermé, comme intersection des fermés Fx,y qui définissent la linéarité d'un élément de ℝE :

F_{x,y,\lambda}=\{\ell\in\R^E\mid\ell(\lambda x+y)=\lambda\ell(x)+\ell(y)\}\quad(x,y\in E,\lambda\in\R)

et des fermés Gv qui imposent les contraintes sur V :

G_v=\{\ell\in\R^E\mid |\ell(v)|\le1\}\quad(v\in V).

En effet, une forme linéaire sur E qui vérifie ces contraintes est automatiquement continue, car bornée sur le voisinage V de 0.

Version séquentielle[modifier | modifier le code]

Si un espace vectoriel normé E est séparable alors la boule unité B de son dual topologique (munie de la topologie faible-*) est métrisable donc sa compacité équivaut à sa compacité dénombrable et à sa compacité séquentielle. On peut démontrer directement cette dernière[1] de façon plus élémentaire : Soient (ℓn) une suite dans B, et D une partie dénombrable dense de E. Par le procédé diagonal de Cantor, on peut extraire de (ℓn) une sous-suite qui converge simplement sur D. Par équicontinuité, cette sous-suite converge alors simplement sur E tout entier (donc sa limite appartient à B). Si E n'est pas séparable, le compact B peut ne pas être séquentiellement compact : un contre-exemple est fourni par E = = C(βℕ).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b S. Banach, Théorie des opérations linéaires,‎ (lire en ligne).
  2. L'affirmation par Dieudonné de l'antériorité de Bourbaki sur Alaoglu est reprise par divers auteurs mais fermement contestée dans (en) Robert S. Doran (en), « Constantinescu, Corneliu, C*-algebras, vol. 1, Banach spaces », MR,‎ , p. 354 (Math Reviews 1850358, lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]