Union (mathématiques)

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Union et Réunion.

Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion[1] est une opération ensembliste de base. En algèbre booléenne, l'union est associée à l'opérateur logique ou inclusif.

L'union des ensembles A et B est représentée dans ce diagramme de Venn par l'ensemble de la zone colorée en bleu.

Union de deux ensembles[modifier | modifier le code]

L'union de deux ensembles A et B est l'ensemble qui contient tous les éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. On la note AB.

Formellement :

Par exemple l'union des ensembles A = {1, 2, 3} et B = {2, 3, 4} est l'ensemble {1, 2, 3, 4}.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

  • L'union est associative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :
    (AB) ∪ C = A ∪ (BC)
  • L'union est commutative, c'est-à-dire que, pour des ensembles A et B quelconques, on a :
    AB = BA
  • L'intersection est distributive sur l'union, c'est-à-dire que, pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :
    A ∩ (BC) = (AB) ∪ (AC)

Union d'une famille d'ensembles[modifier | modifier le code]

On généralise ce concept à un ensemble quelconque X d'ensembles (non nécessairement réduit à une paire, ni même fini) : sa réunion, notée ∪X, a pour éléments tous les x pour lesquels il existe un EX tel que xE (si X est l'ensemble vide, cette réunion est donc vide). D'après l'axiome de la réunion, ∪X est un ensemble[2].

On peut alors définir la réunion d'une famille quelconque d'ensembles (Ei)iI : c'est la réunion ∪X de l'ensemble X = {Ei | iI}. Cette réunion, notée ∪iI Ei, est donc l'ensemble des éléments x pour lesquels il existe un iI tel que xEi.

Formellement :

La distributivité ci-dessus s'étend aux familles :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dans ce contexte, ces deux mots sont synonymes (cf. entrées union et réunion sur le portail lexical du CNRTL). Ils sont utilisés indifféremment, parfois dans un même ouvrage, comme S. Balac et L. Chupin, Analyse et algèbre, PPUR, (ISBN 978-2-88074782-4, lire en ligne).
  2. René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions], p. 124 de l'édition de 1993.

Articles connexes[modifier | modifier le code]