Tipi de Cantor
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En mathématiques, le tipi de Cantor, ou éventail de Knaster-Kuratowski, est un espace topologique particulier : il est connexe mais quand on le prive de son sommet, il devient totalement discontinu.
Construction
[modifier | modifier le code]L'éventail de Knaster–Kuratowski se construit à partir de l'ensemble de Cantor et du point du plan ℝ2, qui servira de sommet. Pour chaque point de , on considère le segment de droite reliant à . L'ensemble obtenue par la réunion de tous ces segments, pour tout est connexe. Si on enlève il non-connexe mais pas totalement discontinu.
Pour le rendre totalement discontinu, sur chaque segment reliant à on ne conserve que les points dont l'ordonnée est :
- rationnelle si est une extrémité d'un des intervalles retirés lors de la construction de l'ensemble de Cantor ;
- irrationnelle sinon.
L'espace obtenue est l'éventail de Knaster–Kuratowski de sommet [1].
Propriétés
[modifier | modifier le code]L'éventail de Knaster–Kuratowski munie de la topologie induite est connexe et totalement discontinu si on enlève . C'est-à-dire que la composante connexe de chaque élément est le singleton [1]. Cependant il n'est pas « totalement séparé » : deux points situés sur une même « branche » ne sont pas séparés par un ouvert-fermé[1].
Sa dimension topologique est 1[2].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Steen et Seebach 1970, contre-exemples 128 et 129
- ↑ (en) Keio Nagami, Dimension theory, Academic Press, , 256 p. (ISBN 978-0-12-513650-1, lire en ligne), p. 54, exemple 9.12.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- Bronisław Knaster et Kazimierz Kuratowski, « Sur les ensembles connexes », Fundamenta Mathematicae, vol. 2, , p. 206-255 (lire en ligne [PDF])
- (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, (1re éd. 1970) (ISBN 978-0-486-68735-3)
