Tipi de Cantor

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, le tipi de Cantor, ou éventail de Knaster-Kuratowski[1], est un espace topologique particulier : il est connexe mais quand on le prive de son sommet, il devient totalement discontinu.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient

L'éventail de Knaster-Kuratowski, de sommet p, est la réunion Y des X(c) quand c parcourt C (vue comme partie du plan munie de la topologie induite).

Le sous-espace Y\{p} est totalement discontinu, mais pas « totalement séparé » : deux points situés sur un même X(c) ne sont pas séparés par un ouvert-fermé[2],[3]. Sa dimension topologique est 1[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Knaster–Kuratowski fan » (voir la liste des auteurs).
  1. Bronisław Knaster et Kazimierz Kuratowski, « Sur les ensembles connexes », Fundamenta Mathematicae, vol. 2, 1921, p. 206-255 : p. 233
  2. (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, (1re éd. Springer, 1978) (ISBN 978-0-486-68735-3), contre-exemples 128 et 129.
  3. (en) Dennis Pixton, Totally disconnected and zero dimensional metric spaces, Math 479 - Spring 2011, Real Analysis II, Binghamton University.
  4. (en) Keio Nagami, Dimension theory, Academic Press, , 256 p. (ISBN 978-0-12-513650-1, lire en ligne), p. 54, exemple 9.12.