Théorème de Banach-Steinhaus

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Le théorème de Banach-Steinhaus fait partie, au même titre que le théorème de Hahn-Banach et le théorème de Banach-Schauder, des résultats fondamentaux de l'analyse fonctionnelle. Publié initialement par Stefan Banach et Hugo Steinhaus en 1927, il a aussi été prouvé indépendamment par Hans Hahn, et a connu depuis de nombreuses généralisations.

La formulation originelle de ce théorème est la suivante[1] :

Théorème — Soient E et F deux espaces vectoriels normés. Pour qu'une famille d'applications linéaires continues de E dans F soit uniformément bornée sur la boule unité de E, il suffit qu'elle soit simplement bornée sur une partie non maigre de E.

Lorsque E est un espace de Banach (donc de Baire) il suffit donc que la famille soit simplement bornée sur une partie comaigre, comme E lui-même[2].

Démonstration[modifier | modifier le code]

Considérons, pour chaque entier naturel n, l'ensemble des vecteurs x de E tels que pour tout indice i, |fi(x)| ≤ n :

A_n:=\bigcap_{i\in I}\{x\in E\mid\|f_i(x)\|\le n\}.

C'est une intersection de fermés, donc un fermé. L'ensemble sur lequel la famille (f_i)_{i \in I} est simplement bornée est la réunion de ces An. Si cette réunion est non maigre alors l'un des An n'est pas d'intérieur vide : il existe un entier naturel n0 tel que A_{n_0} contienne une boule fermée de rayon r > 0. Notons a son centre.

Pour tout vecteur unitaire x de E,

 \forall i \in I, \|f_i(x)\| = \tfrac 1r \|f_i(rx)\| \le\tfrac 1r \|f_i(a)\| + \tfrac 1r \|f_i(a + rx)\| \le\frac{n_0}r+\frac{n_0}r.

Par conséquent, (f_i)_{i \in I} est uniformément bornée sur la boule unité :

\sup_{i \in I} \Vert f_i \Vert\le\tfrac{2n_0}r<+\infty,

\|f_i\| est la norme d'opérateur de f_i.

Exemples d'applications[modifier | modifier le code]

Application aux sommes de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : somme de Riemann.

Soit E l'espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles, muni de la norme \| f \|_\infty = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)| , de sorte que E est bien un espace de Banach, et F = ℝ. Pour chaque entier naturel n, soit un l'opérateur défini par :

u_n(f) = n \int_0^1 f(t) dt - \sum_{k=1}^n f(k/n).

Pour toute fonction f, {u_n(f) \over n} n'est autre que l'erreur commise dans le calcul de l'intégrale de f lorsque l'on prend une somme de Riemann correspondant à une subdivision régulière de [0, 1] en n intervalles égaux. Cette erreur est un O(\tfrac1n) pour les fonctions de classe C1 ou lipschitziennes, mais il n'en est pas de même pour les fonctions continues en général. En effet, on montre que  \| u_n \| = 2n , de sorte que \sup_{n\in\N}\|u_n\|=+\infty et donc que le complémentaire de A est dense. Une fonction f appartenant à ce complémentaire vérifie donc  \sup_{n\in\N} \|u_n(f)\| = + \infty , ce qui signifie que l'ensemble u_n(f) n'est pas borné et donc que l'erreur commise {u_n(f) \over n} n'est pas un O(\tfrac1n).

Le théorème de Banach-Steinhaus donne une preuve de l'existence d'objets vérifiant telle ou telle propriété, mais cette preuve n'est pas constructive.

Application aux séries de Fourier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : noyau de Dirichlet.

Si f est une fonction (disons continue) de période , on vérifie que la n-ième somme partielle de sa série de Fourier est

S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)~{\rm d}t,\quad\text{avec}\quad
D_n(t)=\frac{\sin (2n+1)\frac t2}{\sin\frac t2} (noyau de Dirichlet).

Fixons x. Pour chaque entier n, la norme de l'application f\mapsto S_n(f)(x), vue comme forme linéaire sur l'espace des fonctions continues de période muni de la norme sup, est égale à la n-ième constante de Lebesgue :

L_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|D_n(t)|~{\rm d}t.

Or (cf. Intégrale de Dirichlet)

L_n>\frac2{\pi}\int_0^{\pi}|\sin (n+\tfrac12)t|~\frac{{\rm d}t}t=\frac2{\pi}\int_0^{(n+\tfrac12)\pi}|\sin s|~\frac{{\rm d}s}s\to+\infty.

D'après le théorème de Banach-Steinhaus, il existe donc une fonction f telle que \sup_{n\in\N}|S_n(f)(x)|=+\infty. La série de Fourier d'une telle fonction diverge en x.

Si l'on utilise la version forte du théorème de Banach-Steinhaus, on voit même que dans l'espace des fonctions continues -périodiques muni de la topologie de la convergence uniforme, l'ensemble des fonctions dont la série de Fourier diverge en x est comaigre donc dense.

Cet argument est d'autant plus remarquable qu'il n'est pas très facile de trouver des exemples explicites.

Continuité des applications multilinéaires[modifier | modifier le code]

Si E, F et G sont trois espaces vectoriels normés et si E ou F est complet, pour qu'une application bilinéaire de E×F dans G soit continue, il suffit qu'elle le soit séparément par rapport à chaque variable[3].

Généralisations[modifier | modifier le code]

Sous sa forme la plus générale (d'où les hypothèses inutiles de convexité locale ont été éliminées), le théorème de Banach-Steinhaus s'énonce comme suit[4] :

Théorème —  Soit K le corps des réels ou des complexes et E un espace vectoriel topologique sur K. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) E est tonnelé ;
(b) toute partie simplement bornée H de l'ensemble \mathcal{L}\left( E,F\right) des applications linéaires continues de E dans un espace vectoriel topologique arbitraire F sur K est équicontinue ;
(c) toute partie simplement bornée H de l'ensemble \mathcal{L}\left( E,F\right) des applications linéaires continues de E dans un espace de Fréchet arbitraire F sur K est équicontinue.
Démontrons que (a) implique (b) dans le cas localement convexe (ce qui est la « forme classique » du théorème de Banach-Steinhaus). Soit donc E et F des espaces localement convexes et p une semi-norme continue sur F. Posons q=\sup\limits_{u\in H}\left( p\circ u\right). Puisque H est simplement bornée, on a q(x) < +\infty pour tout x\in E ; il est clair que q est une semi-norme sur E, semi-continue inférieurement. Comme E est tonnelé, q est une semi-norme continue, donc H est équicontinue.

On notera que la démonstration ci-dessus est fondée, en dernière analyse, sur le théorème de Hahn-Banach et non sur la propriété de Baire. Il existe des espaces tonnelés importants (notamment des limites inductives strictes d'espaces de Fréchet) qui ne sont pas des espaces de Baire, et on peut tout de même utiliser le théorème de Banach-Steinhaus sur ces espaces.

Pour tirer les conséquences pratiques du théorème ci-dessus, le lemme suivant est nécessaire :

Lemme — Soit E et F deux espaces localement convexes, F étant séparé, et H une partie équicontinue de \mathcal{L}(E,F).

(1) Dans H, les structures uniformes suivantes coïncident :
(a) celle de la convergence simple ;
(b) celle de la convergence uniforme dans les parties précompactes de E.
(2) Si un filtre \Phi sur H converge simplement vers une application u_0 de E dans F, alors u_0\in\mathcal{L}(E,F) et \Phi converge uniformément vers u_0 dans toute partie précompacte de E.
(3) Supposons l'ensemble F^E des applications de E dans F muni de la topologie de la convergence simple. Alors l'adhérence \bar H de H dans F^E est contenue dans \mathcal{L}(E,F) et est équicontinue.
(1) et (2) sont des propriétés générales des ensembles uniformément équicontinus d'applications, et (3) en est une conséquence, en utilisant le « principe de prolongement des identités ».

Corollaire —  (Théorème de Banach-Steinhaus) : Soit E un espace localement convexe tonnelé sur K ou le dual d'un espace de Fréchet, et F un espace localement convexe séparé sur K.

(a) Soit \left( u_{n}\right) une suite d'éléments de \mathcal{L}\left(E,F\right), convergeant simplement vers une application u de E dans F. Alors on a u\in \mathcal{L}\left( E,F\right), et \left(u_n\right) converge uniformément vers u sur toute partie précompacte de E.

(b) Sous les hypothèses considérées, soit plus généralement Z un espace métrisable, A une partie de Z, z \mapsto u_z une application de A dans \mathcal{L}\left( E,F\right) et z_0 un point adhérent à A dans Z. Si pour tout x \in E, \lim\limits_{z\rightarrow z_{0},z\in A}u_z\left( x\right) =v\left(x\right) existe, alors u \in \mathcal{L}\left( E,F\right).

(c) Si E est tonnelé, soit \Phi un filtre sur \mathcal{L}(E,F), contenant une partie simplement bornée ou à base dénombrable, et convergeant simplement vers une application u de E dans F. Alors u \in \mathcal{L}(E,F) et \Phi converge uniformément vers u dans toute partie précompacte de E.

Le principe de condensation des singularités s'énonce comme suit[6],[7] :

Théorème —  Soit E et F deux espaces vectoriels topologiques tels que E est un espace de Baire. Si une partie H de \mathcal{L}\left( E,F\right) n'est pas équicontinue, l'ensemble des x \in E tels que H\left( x\right) n'est pas bornée dans F est comaigre. En conséquence, si \left( H_n\right) est une suite de parties de \mathcal{L}\left( E,F\right) dont aucune n'est simplement bornée, l'ensemble des x \in E tels que H_n\left( x\right) est non borné dans F pour tout entier n est non maigre.

Application aux espaces de Montel[modifier | modifier le code]

Un espace de Montel est tonnelé, et dans un tel espace, les parties fermées bornées et les parties compactes coïncident. Le théorème de Banach-Steinhaus, sous sa forme générale, a donc la conséquence suivante :

Théorème —  Soit E^{\prime} le dual d'un espace de Montel E.

(a) Dans E^{\prime}, toute suite faiblement convergente est fortement convergente.

(b) Plus généralement, soit Z un espace métrisable, A une partie de Z, z \mapsto u_z une application de A dans E^{\prime} et z_0 un point adhérent à A dans Z. Si pour tout x \in E, \lim\limits_{z\rightarrow z_{0},z\in A}<u_{z},x> =v(x) existe, alors v \in E^{\prime} et \lim\limits_{z\rightarrow z_0,z\in A}u_{z} =v dans E^{\prime} fort.

En particulier, soit \mathcal{E}^{\prime}(\Omega) (resp. \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)) l'espace des distributions à support compact (resp. l'espace des distributions) sur une variété différentiable paracompacte de dimension finie \Omega (par exemple un ouvert de \R^{n}) ; puisque l'espace \mathcal E(\Omega) (resp. \mathcal D(\Omega)) des fonctions indéfiniment différentiables (resp. des fonctions indéfiniment différentiables à support compact) sur \Omega est un espace de Montel (mais non de Baire !), les suites faiblement convergentes et les suites fortement convergentes dans \mathcal E^{\prime}(\Omega) (resp. \mathcal D^{\prime}(\Omega)) coïncident, ce qui simplifie beaucoup l'étude de la convergence des suites de distributions (la topologie forte des distributions étant une limite projective d'espaces (DF) compliquée). En effet, pour vérifier qu'une suite de distributions (T_{i}) (dans \mathcal{E}^{\prime}(\Omega) ou dans \mathcal{D}^{\prime}(\Omega)) tend vers une limite T, il suffit de vérifier que pour toute fonction test \phi, la suite de nombres complexes (<T_{i},\phi>) tend vers <T,\phi>. Il n'est pas nécessaire, alors, de préciser au sens de quelle topologie (T_i) tend vers T.

La même conclusion vaut pour l'espace \mathcal S^{\prime}(\R^n) des distributions tempérées sur \R^n. En effet, l'espace de Schwartz \mathcal S(\R^n) des fonctions déclinantes est un espace de Montel.

Exemples : convergence de suites de distributions[modifier | modifier le code]

Convergence vers la distribution de Dirac[modifier | modifier le code]

Soit T_i, où i est un entier \ge1, une fonction positive définie sur la droite réelle, dont le support est inclus dans l'intervalle \left[0,1/i\right] et dont l'intégrale entre –∞ et +∞ est égale à 1. Ce peut être par exemple la fonction définie par T_i(x)=i pour 0\le x\le1/i et T_{i}(x)=0 ailleurs ; mais T_{i} peut être également une fonction continue, ou même indéfiniment dérivable. Soit \phi \in \mathcal E(\R). On a

\left\langle T_i,\phi \right\rangle =\int_0^{1/i}i\phi \left(
t\right) dt=\phi \left( c_i\right)

c_i\in [0, 1/i], d'après la première formule de la moyenne. Par conséquent, (<T_i,\phi>)\rightarrow \phi(0)=<\delta,\phi>\delta est la distribution de Dirac. En conséquence, (T_i) \rightarrow \delta dans \mathcal E^{\prime}(\R) (cette convergence a également lieu dans \mathcal D^{\prime}(\R) et dans \mathcal S^{\prime}(\R)). C'est la raison pour laquelle on dit parfois, par abus de langage, que « la fonction de Dirac est la fonction qui vaut 0 en dehors de l'origine, qui vaut +∞ en ce point, et dont l'intégrale sur la droite réelle vaut 1 ».

Régularisation d'un signal par un filtre passe-bas[modifier | modifier le code]

Considérons un filtre passe-bas de fonction de transfert G_{\tau }\left( p\right) =\frac1{1+\tau p}, où p désigne la variable de Laplace. Lorsque la constante de temps \tau tend vers 0^{+}, G_{\tau }\left( p\right) tend vers 1. On peut donc penser que pour \tau >0, le filtre considéré a un effet régularisant, et que lorsque \tau diminue cet effet régularisant devient de moins en moins marqué jusqu'à disparaître par passage à la limite. C'est ce que montre le théorème de Banach-Steinhaus, en utilisant le fait que le produit de convolution est continu de \mathcal{D}_+^{\prime}\left(\R\right)\times\mathcal{D}_+^{\prime}\left(\R\right) dans \mathcal{D}_+^{\prime }\left(\R\right) (où \mathcal{D}_{+}^{\prime }\left( \R\right) est le sous-espace de \mathcal D^{\prime}(\R) dont les éléments sont les distributions à support positif)[8]. En effet, la réponse impulsionnelle du filtre (à savoir la transformée de Laplace inverse de G_{\tau }\left( s\right)) est g_{\tau }\left( t\right) =\left( 1/\tau \right) e^{-t/\tau }\Upsilon \left(t\right), où \Upsilon est la fonction de Heaviside. Soit \phi \in \mathcal{D}\left(\R\right). On a

\left\langle g_{\tau },\phi \right\rangle \left( t\right) =\frac1{\tau 
}\int_{0}^{+\infty }e^{-\frac{t}{\tau }}\phi \left( t\right)
dt=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\phi \left( \tau x\right) dx.

Puisque \phi est continue et à support compact, elle est bornée, et le théorème de convergence dominée montre que

\lim\limits_{\tau \rightarrow 0^{+}}\left\langle g_{\tau },\phi
\right\rangle=\phi \left( 0\right) =\left\langle \delta
,\phi \right\rangle

d'où on déduit que g_{\tau}\rightarrow\delta dans \mathcal{D}_{+}^{\prime }\left(\R\right) quand \tau \rightarrow 0^+. Supposons que l'entrée du filtre soit une fonction u localement intégrable, discontinue et à support positif. Alors la sortie du filtre est la convolée y_{\tau }=g_{\tau }\star u. Cette fonction y_{\tau } est continue[9] et, d'après ce qui précède, converge vers u dans \mathcal{D}_+^{\prime }\left(\R\right) quand \tau \rightarrow 0^+.

Peigne de Dirac[modifier | modifier le code]

Soit

\Delta_{n,m} =\sum\limits_{j=-n }^{m }\delta_{(j)}

\delta_{(j)} est la distribution de Dirac au point j, et \phi \in \mathcal S(\R). On a

\left\langle \Delta _{n,m},\phi \right\rangle =\sum\limits_{j=-n}^m\phi
\left( j\right).

Or \phi \left( j\right) =O\left( 1/j^{2}\right) , par conséquent (d'après le résultat classique sur les séries de Riemann), \lim\limits_{n,m\rightarrow +\infty }\left\langle \Delta _{n,m},\phi\right\rangle existe pour toute fonction test \phi \in \mathcal S(\R). Il s'ensuit que la suite double (\Delta_{n,m}) converge dans l'espace des distributions tempérées \mathcal S^{\prime}(\R) (muni de sa topologie forte). La limite est le peigne de Dirac (qui est donc une distribution tempérée)

\Delta=\sum\limits_{j=-\infty }^{\infty }\delta_{(j)}.

Exemple : convergence d'une suite d'hyperfonctions[modifier | modifier le code]

Soit

\Gamma _{N}=\sum_{n=0}^{N}a_{n}\delta ^{\left( n\right) }

et soit \phi \in \mathcal O(\left\{ 0\right\} )\mathcal O(\left\{ 0\right\} ) désigne l'espace des germes de fonctions analytiques dans un voisinage de 0 dans \R ; il s'agit d'un espace (DFS), qui est donc un espace de Montel, et son dual est l'espace  \mathcal B(\left\{ 0\right\} ) des hyperfonctions ayant pour support \left\{ 0\right\}. On a

<\Gamma _{N},\phi>=\sum_{n=0}^{N}(-1)^{n}a_{n}\phi^{(n)}(0).

Le développement de Taylor de \phi au voisinage de 0 s'écrit

\phi \left( t\right) =\sum_{n=0}^{\infty }\frac{\phi ^{\left( n\right)
}\left( 0\right) }{n!}t^n

et par conséquent cette série entière doit être convergente avec un rayon r suffisamment petit. La suite de nombres complexes <\Gamma _{N},\phi> est alors convergente si, et seulement si pour n suffisamment grand, \left\vert a_{n}\right\vert <r^{n}/n!. Cette condition est satisfaite pour r aussi petit que l'on veut si, et seulement si

\lim .\sup \sqrt[n]{n!\left\vert a_{n}\right\vert }=0

qui est donc, d'après le théorème de Banach-Steinhaus, la condition nécessaire et suffisante pour que la suite (\Gamma_{N}) converge dans  \mathcal B(\left\{ 0\right\} ). On peut donc écrire

\mathcal{B}\left( \left\{ 0\right\} \right) =\left\{
\sum\nolimits_{n=0}^{\infty }a_n\delta^n:a_n\in \C
,\lim .\sup \sqrt[n]{n!\left\vert a_n\right\vert }=0\right\}.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Stefan Banach et Hugo Steinhaus, « Sur le principe de condensation des singularités », Fundamenta Mathematicae, vol. IX,‎ , p. 50-61 (lire en ligne), lemme 3.
  2. A fortiori, il suffit que la famille soit une suite d'applications (linéaires continues) simplement convergente. Sur la boule unité, cette suite sera alors uniformément bornée, mais la convergence ne sera pas nécessairement uniforme.
  3. Josette Charles, Mostafa Mbekhta et Hervé Queffélec, Analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs : Rappels de cours et exercices corrigés, Dunod,‎ (lire en ligne), p. 46 et 57, exercice II.6.
  4. Adasch, Ernst et Keim 1978, §7.
  5. Bourbaki 2006, §IV.3, cor. de la prop.2
  6. Bourbaki 2006, §III.3, exerc. 10.
  7. Schaefer 1999, p. 117, Chap. III, exerc. 12.
  8. Schwartz 1966, p. 170.
  9. Bourlès 2010, p. 427.

Références[modifier | modifier le code]