Ensemble parfait

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Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à son ensemble dérivé, c'est-à-dire à l'ensemble de ses « points limites », ou « points d'accumulation ».

Exemples[modifier | modifier le code]

L'ensemble vide est parfait dans tout espace.

Dans ℝ, un segment [a, b] est un exemple trivial d'ensemble parfait.

Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor[1]. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor . Plus généralement, l'espace produit {0, 1}I est parfait lorsque I est un ensemble infini. Un exemple[2] d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est l'ensemble est une série absolument convergente de complexes telle que pour tout N, .

On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si est une partie fermée de ℝn, on définit le dérivé de comme l'ensemble des points d'accumulation de . Pour tout ordinal , on pose et, si est un ordinal limite, . Si désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que[3] :

  • Ou bien . On dit que est réductible ;
  • Ou bien et c'est un ensemble parfait. est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Un ensemble parfait non vide de ℝ[4] ou ℝn[5] n'est pas dénombrable. Plus généralement et plus précisément :

Dans les deux cas, l'espace considéré a donc au moins la puissance du continu.

Toute partie fermée de ℝ (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-Bendixson (en).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Jacques Gabay, (1re éd. 1905, Gauthier-Villars), p. 54-57.
  2. Jean-Marie Arnaudiès, L'intégrale de Lebesgue sur la droite, Vuibert, 1997, p. 18-20.
  3. Baire 1995, p. 64-68.
  4. Baire 1995, p. 61.
  5. (en) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, , 3e éd. (1re éd. 1953) (lire en ligne), p. 41.
  6. (en) Arlen Brown et Carl Pearcy, Introduction to Operator Theory I: Elements of Functional Analysis, coll. « GTM » (no 55), (lire en ligne), p. 68.
  7. (en) Vladimir I. Bogachev, Measure Theory, vol. 1, Springer, (lire en ligne), p. 8.
  8. (en) « Cardinality of a locally compact Hausdorff space without isolated points », sur Mathematics Stack Exchange,‎ .