Table de vérité

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Une table de vérité est une table mathématique utilisée en logique — en particulier le calcul propositionnel classique et l'algèbre de Boole — pour représenter de manière sémantique des expressions logiques et calculer la valeur de leur fonction relativement à chacun de leurs arguments fonctionnels (chaque combinaison de valeur assumée par leurs variables logiques). Les tables de vérité peuvent être utilisées en particulier pour dire si une proposition est vraie pour toutes les valeurs légitimement imputées, c'est-à-dire : si une proposition est « logiquement valide ».

En pratique, une table de vérité est composée d'une colonne pour chaque variable imputée (A et B par exemple, ou p et q), et d'une colonne où sont inscrits tous les résultats possibles de l'opération logique représentée par le tableau (A XOR B par exemple). Chaque ligne de la table de vérité contient ainsi une des configurations possibles des variables imputées (par exemple : A=vrai, B=faux), ainsi que le résultat de l'opération pour ces valeurs.

Ces outils sont couramment utilisés en électronique (porte logique) et en informatique (tests) selon un code d'entrée binaire (0 / 1, faux / vrai, éteint / allumé, etc.). Une sortie, également représentée sous forme de colonne, est la résultante des états d'entrée, elle-même exprimée sous forme d'état binaire. En d'autres mots, lorsque les entrées remplissent les conditions du circuit, la (les) sortie est activée.

Entrées Sortie
États État

Lire une table de vérité[modifier | modifier le code]

Pour lire une table de vérité, on recherche dans la liste des entrées l'état souhaité pour en déterminer la sortie (qui se trouve donc sur la même ligne).

Exemple de base[modifier | modifier le code]

Dans les exemples suivants, nous découvrons la table de vérité pour certaine porte logique. Par exemple, pour que la sortie de la porte logique ET soit activée, nous devons avoir les deux entrées à 1. Alors que la porte logique OU n'a besoin que d'une des entrées pour afficher un 1 à la sortie.

Table de vérité de ET
a b a ET b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Table de vérité de OU
a b a OU b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Table de vérité de XOR (OU exclusif)
a b a XOR b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Table de vérité de l'implication
a b a ⇒ b
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Exemple composé[modifier | modifier le code]

Table de vérité de a.(b + c)
a b c a.(b + c)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

Le '.' se dit et, le '+' se lit ou.

On lit dans ce tableau: a et (b ou c)

Pour valider cette table, il faut donc que le a soit à l'état 1, ainsi que b ou c.

et et ou sont les opérateurs d'un état logique. On note les entrées "E" et les sorties "S".

Opérations unaires[modifier | modifier le code]

Il existe 4 opérations unaires (ne requérant qu'un seul argument ou opérande, ici « p ») : fausseté (F), vérité (V), identité (p) et négation (¬p).

Faux logique[modifier | modifier le code]

Faux logique
p F
V F
F F

Vrai logique[modifier | modifier le code]

Vrai logique
p V
V V
F V

Identité logique[modifier | modifier le code]

L'identité logique est une opération appliquée à un énoncé logique — typiquement une proposition (p) — afin d'en établir la valeur de vérité : vraie dans le cas où l'opérande est vrai, de fausse lorsqu'il est faux.

Identité logique
p p
V V
F F

Négation logique[modifier | modifier le code]

La négation logique est une opération qui inverse la valeur de l'opérande auquel elle est appliquée : il prend valeur de faux lorsqu'il est vrai, et de vrai lorsqu'il est faux. L'opérateur de la négation est symbolisé par les signes « ¬ » ou « ~ ».

Négation logique
p ¬p
V F
F V

Opérations binaires[modifier | modifier le code]

Une opération binaire est une opération à deux arguments (p et q par exemple), chacun pouvant être vrai ou faux (p {V, F} ; q {V, F}) : leur combinaison (p x q) donne ainsi 2² = 4 manières de combiner leur valeur de vérité.

p q   p   q
 
  \diagup^V   V   V
\bigg /^V \diagdown_F   V   F
\bigg\backslash_F \diagup^V   F   V
  \diagdown_F   F   F


Chacune de ces 2² combinaisons d'entrée ayant elles-mêmes deux résultats possibles (« [{V, F} x {V, F}] → {V,F} »), on obtient ainsi 4² = 16 fonctions de vérité, qui forment les 16 colonnes de la table de vérité suivante :

P Q       ¬(←)  ¬p  ¬(→)  ¬q   w           q p v T
V V F F F F F F F F V V V V V V V V
V F F F F F V V V V F F F F V V V V
F V F F V V F F V V F F V V F F V V
F F F V F V F V F V F V F V F V F V

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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