Négation logique

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En logique et en mathématiques, la négation est un opérateur logique unaire. Il sert à créer une proposition à partir d'une autre en en inversant la signification.

Notation[modifier | modifier le code]

On note la négation d'une proposition P de diverses manières dont :

  • ¬P (utilisée dans cet article);
  • Non P ;

Ces formulations se lisent « négation de P » ou plus simplement « non P ».

Tables de vérités[modifier | modifier le code]

Dans l'interprétation par des tables de vérité, la proposition ¬P est vraie quand P est fausse et elle est fausse quand P est vraie. La table de vérité s'écrit simplement :

P ¬P
F V
V F

ou

P ¬P
0 1
1 0

Propriétés[modifier | modifier le code]

Double négation[modifier | modifier le code]

Dans le système de la logique classique, la double négation, qui est la négation de la négation d'une proposition p, est logiquement équivalente à p. Exprimé en termes symboliques, ¬¬pp. En logique intuitionniste, une proposition implique sa double négation, mais pas l'inverse. Cela marque une différence importante entre la négation classique et intuitionniste. Algébriquement, la négation classique est appelée une involution de la période deux.

Cependant, en logique intuitionniste nous avons l'équivalence entre ¬¬¬p et ¬p. En outre, dans le cas propositionnel, une phrase est classiquement prouvable si sa double négation est intuitionniquement prouvable. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Glivenko.

Distributivité[modifier | modifier le code]

Les lois de De Morgan distribuent la négation sur la disjonction et la conjonction:

,  et
.

Linéarité[modifier | modifier le code]

En algèbre booléenne, une fonction est linéaire s'il existe a0, a1, ..., an  {0,1} tels que f(b1, ..., bn) = a0 ⊕ (a1  b1) ⊕ ... ⊕ (an  bn), pour tout b1, ..., bn  {0,1}.

La négation est un opérateur linéaire de l'algèbre booléenne.

Utilisation en logique classique[modifier | modifier le code]

Voici quelques règles d'utilisation des négations en logique classique :

est le symbole de l'équivalence logique.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]