Négation logique

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Négation.

En logique et en mathématiques, la négation est un opérateur logique unaire. Il sert à créer une proposition à partir d'une autre en en inversant la signification, de « vrai » en « faux » ou de « démontrable » en « non démontrable ».

Notation[modifier | modifier le code]

On note la négation d'une proposition P de diverses manières dont :

  • ¬P (utilisée dans cet article);
  • Non P ;

Ces formulations se lisent « négation de P » ou plus simplement « non P ».

Tables de vérités[modifier | modifier le code]

Dans l'interprétation par des tables de vérité, la proposition ¬P est vraie quand P est fausse et elle est fausse quand P est vraie. La table de vérité s'écrit simplement :

P ¬P
F V
V F

ou

P ¬P
0 1
1 0

Double négation[modifier | modifier le code]

En logique classique, la double négation correspond à une affirmation; autrement dit, les propositions P et ¬(¬P) sont logiquement équivalentes de même que les propositions ¬¬¬P et ¬P.

Utilisation en logique classique[modifier | modifier le code]

Voici quelques règles d'utilisation des négations en logique classique :

  • \neg (P\, \text{ou}\, Q) \Leftrightarrow (\neg P)\, \text{et}\,(\neg Q)
  • \neg (P\, \text{et}\, Q) \Leftrightarrow (\neg P)\, \text{ou}\,(\neg Q)
  • \neg (P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P\, \text{et}\,(\neg Q)
  • \neg (\exists x, P(x)) \Leftrightarrow \forall x, \neg P(x)
  • \neg (\forall x, P(x)) \Leftrightarrow \exists x, \neg P(x)

\Leftrightarrow est le symbole de l'équivalence logique.

Articles connexes[modifier | modifier le code]