Disjonction logique

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La disjonction logique, ou disjonction non exclusive de deux assertions est une façon d'affirmer qu'au moins une de ces deux assertions est vraie (la première, la deuxième, ou les deux).

Utilisation de la disjonction logique[modifier | modifier le code]

Dans le langage logique ou mathématique et dans les domaines techniques qui l'emploient, elle se traduit par le OU logique, un opérateur logique dans le calcul des propositions. La proposition obtenue en reliant deux propositions par cet opérateur s'appelle également leur disjonction, ou leur somme logique. La disjonction de deux propositions P et Q est vraie quand l'une des propositions est vraie, et est fausse quand les deux sont simultanément fausses. La disjonction s'écrit : P ∨ Q et se lit « P ou Q »

Le symbole « ∨ » s'appelle connecteur de disjonction.

La table de vérité d’une disjonction est donnée par le tableau suivant

P Q P ∨ Q
vrai vrai vrai
vrai faux vrai
faux vrai vrai
faux faux faux

Note : Boole, par analogie étroite avec les mathématiques ordinaires, imposa dans la définition de x + y, la condition d'exclusion mutuelle de x et y. William Jevons, et pratiquement tous les logiciens en mathématiques qui lui succédèrent, préconisèrent pour diverses raisons, l'emploi d'une définition de la somme logique ne rendant pas obligatoire l'exclusion mutuelle.

La disjonction que nous avons décrite est un opérateur binaire, ce qui signifie qu'elle combine deux propositions en une seule. Cependant, nous pouvons enchaîner des disjonctions, en considérant par exemple ABC, qui est par définition l'une ou l'autre des deux propositions logiquement équivalentes (AB) ∨ C ou A ∨ (BC). Cette proposition est vraie quand l'une des propositions A, B, ou C est vraie. L'enchaînement des conjonctions est rendu possible grâce à l'associativité du ∨. L'opérateur est également commutatif ; AB est équivalent à BA.

Donnons quelques propriétés de la disjonction  :

Soient P, Q et R trois propositions.

  • (PP) ⇔ P idempotence du « ou »
  • (PQ) ⇔ (QP) commutativité du « ou »
  • ((PQ) ∨ R) ⇔ (P ∨ (QR)) associativité du « ou »
  • ¬ (PQ) ⇔ ((¬ P) ∧ (¬ Q)) la négation d'une disjonction est la conjonction des négations[1]
  • ¬ (PQ) ⇔ ((¬ P) ∨ (¬ Q)) la négation d'une conjonction est la disjonction des négations[2]
  • (P ∨ (QR)) ⇔ ((PQ) ∧ (P ∨ R)) distributivité de « ou » par rapport à « et »
  • (P ∧ (QR)) ⇔ ((PQ) ∨ (PR)) distributivité de « et » par rapport à « ou »

La notion correspondante en théorie des ensembles est la réunion.

Et/ou[modifier | modifier le code]

On trouve parfois l'expression « et/ou ». C'est un barbarisme, dont le sens est exactement le même que la conjonction de coordination « ou » toute seule (« l'un ou l'autre ou les deux ») , qu'il faut préférer. On remarquera d'ailleurs que le signe « / » signifie... « ou » : si cette conjonction était ambigüe alors l'expression et/ou ne le serait pas moins !

Dans le langage courant, « l'un ou l'autre, mais pas les deux » sera rendu par l'expression « ou bien ». En logique cela s'appelle la disjonction exclusive ou le « ou exclusif ». Cependant, mais seulement si le contexte est sans ambiguïté, par exemple lorsque nous demandons « prendrez-vous du café ou du thé ? » -on suppose que la personne sollicitée ne prendra pas les deux- , il arrive que « ou » indique une alternative et a le même sens que « ou bien ».

Le « ou » logique entre deux propositions est également vrai lorsque les deux propositions sont vraies ; ainsi le « ou » s'appelle aussi la disjonction inclusive. Ceci est parfois rendu dans le langage courant[3] par l'expression incorrecte et logiquement indéfinie « et / ou ».

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

  • Conjonction logique
  • Dilemme et principe d'agrégation (si j'ai l'obligation de faire A d'une part, et B d'autre part, mais que je ne peux faire A et B simultanément, l'obligation est-elle conjonctive (j'ai l'obligation de faire A et B bien que ce soit impossible) ou disjonctive?)
  • Quantificateur existentiel