Barre de Sheffer

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Diagramme de Venn de .

En calcul de propositions, la barre de Sheffer, nommée d'après Henry M. Sheffer, notée « | » (voir barre verticale, à ne pas confondre avec « || » qui est souvent utilisé pour représenter la disjonction), « Dpq », ou «  » (une flèche pointant vers le haut), désigne une opération logique qui est équivalente à la négation de la conjonction logique, exprimée « pas les deux à la fois » dans le langage ordinaire. Il est aussi appelé nand (« non et »), car il dit en effet qu'au moins l'un de ses opérandes est faux. En algèbre booléenne et en électronique numérique, il est connu sous le nom de l'opération NON-ET.

Comme son dual, l'opérateur NON-OU, NON-ET peut être utilisé par lui-même, sans aucun autre opérateur logique, pour constituer un système formel logique. Cette propriété rend la porte NON-ET cruciale pour l'électronique numérique moderne, y compris son utilisation dans la mémoire flash NAND et la conception d'un processeur d'ordinateur.

Définition[modifier | modifier le code]

L'opération NON-ET est une fonction logique sur deux valeurs logiques. Elle produit une valeur vrai, si — et seulement si — au moins une des propositions est fausse.

Table de vérité[modifier | modifier le code]

La table de vérité de A NON-ET B (aussi noté A | B, Dpq, ou A ↑ B) est la suivante :

0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Histoire[modifier | modifier le code]

La barre est nommé d'après Henry M. Sheffer, qui en 1913 a publié un document dans les Transactions of the American Mathematical Society (Sheffer 1913) fournissant une axiomatisation des algèbres booléennes en utilisant cette barre, et a prouvé son équivalence. Moses Schönfinkel a étendu l'idée de Scheffer au calcul des prédicats dans sa tentative de minimiser le nombre de concepts de base en logique[1]. Russell et Whitehead ont utilisé la barre de Sheffer en 1927 lors de la deuxième édition des Principia Mathematica.

Charles Sanders Peirce (1880) avait découvert la complétude fonctionnelle de NON-ET ou NON-OU plus de 30 ans auparavant, mais il n'a jamais publié ses résultats.

Introduction, élimination, et équivalences[modifier | modifier le code]

La barre de Sheffer est la négation de la conjonction :

        
Venn1110.svg          Venn0001.svg

Exprimés en fonction de , les opérateurs habituels de la logique propositionnelle sont :

        
Venn10.svg          Venn01.svg Venn01.svg
   
                 
Venn1011.svg          Venn0101.svg Venn1100.svg          Venn0101.svg Venn1110.svg
 
        
Venn0001.svg          Venn1110.svg Venn1110.svg
   
        
Venn0111.svg          Venn1010.svg Venn1100.svg

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Moses Schönfinkel, « Über die Bausteine der mathematischen Logik », Mathematische Annalen 92, (1924) p. 305-316. Traduit par Stefan Bauer-Mengelberg comme « On the building blocks of mathematical logic » in Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press: 355-66.

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]