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Il existe des formules permettant de passer, de proche en proche, d'un système de coordonnées célestes à un autre système de coordonnées célestes.
Dans le formulaire qui suit, les groupes formés de trois formules doivent être entièrement pris en compte (on ne peut se contenter de respecter 2 formules sur 3), car les fonctions inverses des sinus et des cosinus ne donnent pas nécessairement la bonne solution.
Grâce à la trigonométrie sphérique (formule des cosinus), le triangle sphérique du graphique livre les relations suivantes : mais aussi
Le triangle sphérique du graphique livre la relation suivante pour le cosinus de l'angle en pointillé : , qui vaut également
Ainsi
En résumé, nous obtenons, grâce à la trigonométrie sphérique :
formules en tout point identiques à celles indiquées en dessous (il faut juste remplacer par et par ).
Remarquons enfin que :
et donc
Des coordonnées horizontales aux coordonnées horaires
Connaissant les valeurs respectives Z et h de l'azimut et de la hauteur, la déclinaison δ et l'angle horaire AH peuvent être obtenus grâce aux trois formules suivantes :
où l'angle représente la latitude astronomique du lieu d'observation. L'azimut Z est compté à partir du sud géographique, croissant vers l'ouest.
Des coordonnées horaires aux coordonnées horizontales
Connaissant les valeurs respectives AH et δ de l'angle horaire et de la déclinaison, la hauteur h et l'azimut Z peuvent être obtenus grâce aux trois formules suivantes :
où l'angle représente la latitude astronomique du lieu d'observation.
Des coordonnées horaires aux coordonnées équatoriales
Connaissant les valeurs respectives AH et δ de l'angle horaire et de la déclinaison, l'ascension droite α peut être obtenue très simplement grâce à l'unique formule suivante (la déclinaison reste la même) :
où représente le temps sidéral au moment de l'observation.
Des coordonnées équatoriales aux coordonnées horaires
Connaissant les valeurs respectives α et δ de l'ascension droite et de la déclinaison, l'angle horaire peut être obtenu très simplement grâce à l'unique formule suivante (la déclinaison reste la même) :
où représente le temps sidéral au moment de l'observation.
Des coordonnées équatoriales vers les coordonnées écliptiques
Connaissant les valeurs respectives α et δ de l'ascension droite et de la déclinaison, les coordonnées écliptiques ß (latitude) et λ (longitude) peuvent être obtenues grâce aux trois formules suivantes :
où ε = 23.439281° représente l'obliquité de l'écliptique, c'est-à-dire l'angle que forme le plan de l'équateur terrestre avec le plan de l'orbite terrestre autour du soleil.
Des coordonnées écliptiques vers les coordonnées équatoriales
Connaissant les valeurs respectives λ et ß de la longitude et de la latitude écliptiques, la déclinaison δ et l'ascension droite α peuvent être obtenues grâce aux trois formules suivantes :
où ε = 23.439281° représente l'obliquité de l'écliptique, c'est-à-dire l'angle que forme le plan de l'équateur terrestre avec le plan de l'orbite terrestre autour du soleil.