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Sinus intégral

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Sinus intégral
Tracé de pour .
Notation
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
Ensemble image
Parité
impaire
Valeurs particulières
Valeur en zéro
Limite en +∞
Limite en −∞
Particularités
Asymptotes
et

La fonction sinus intégral, notée , est une fonction spéciale de la physique mathématique introduite par Fresnel dans l'étude des vibrations lumineuses, est définie pour tout réel par l'intégrale :

où la fonction est la fonction sinus.

Historique[modifier | modifier le code]

Cette fonction a été utilisée par Oscar Xavier Schlömilch (pour représenter certaines intégrales définies) avec la notation moderne dès 1846[1]. Une première tabulation de cette fonction (pour entier de 1 à 10), due à Carl Anton Bretschneider, a été republiée par Schlömilch en 1848[2]. Jean Denis Fenolio a publié en 1857 un mémoire[3] suggérant plusieurs formules pour le calcul numérique de la fonction . Davide Besso (ru) a publié en 1868[4] une table de valeurs de pour multiple entier de .

Une tabulation plus précise que celles de Bretschneider et Besso a été publiée en 1870 par J. W. L. Glaisher[5], qui donne aussi un historique de l'utilisation de cette fonction dans la littérature mathématique. Des tables détaillées des fonctions cosinus intégral, exponentielle intégrale et sinus intégral ont été publiées en 1940 par la Federal Works Agency (en), sous la direction d'Arnold D. Lowan[6]. L'introduction du volume 1 de ces tables contient (p. 26) une bibliographie des applications de ces fonctions en physique et en ingénierie.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La fonction est continue, infiniment dérivable sur ℝ, et

est la fonction sinus cardinal.

  • La fonction est développable en série entière sur , et on a :

Ce développement permet d'étendre la fonction en une fonction entière.

  • . Il s'agit de l'intégrale de Dirichlet.
  • Une formule intéressante :

, avec (coefficient binomial généralisé).

Sinus intégral généralisé[modifier | modifier le code]

La fonction sinus intégral généralisée est définie, pour complexe de partie réelle , par[7]:

.

On a alors :

  • , où est une fonction de Fresnel.

Cette fonction a été utilisée dans l'étude du phénomène de Gibbs.

Calcul numérique[modifier | modifier le code]

Des manières efficaces de calculer une valeur du sinus intégral existent, selon la valeur de l'argument. Si pour de petites valeurs, le développement de Taylor peut suffire pour atteindre une bonne précision, le calcul de la fonction pour de grandes valeurs passent par une réécriture en fonction hypergéométrique ou en série de Fourier-Tchebychev[8],[9].

Références[modifier | modifier le code]

  1. O. Schlömilch, « Note sur quelques intégrales définies », J. reine angew. Math., vol. 33, no 316,‎ (lire en ligne)
  2. (de) O. Schlömilch, Analytische Studien vol. 1, 1848, p. 196
  3. J. D. Fenolio, Essai sur le sinus intégral, Turin, imprimerie royale, 1857
  4. (it) D. Besso, « Sull'integral seno e l'integral coseno », dans Giornale di matematiche (Battaglini (it)), vol. 6, 1868, p. 313
  5. (en) J. W. L. Glaisher, « Tables of the Numerical Values of the Sine-integral, Cosine-integral, and Exponential-integral », dans Philos. Trans. R. Soc., vol. 160, 1870, p. 387
  6. (en) Arnold L. Lowan (éd.), Tables of Sine, Cosine and Exponential Integrals, t. 1 et t.2, New York, 1940
  7. (de) E. Kreyszig, « Über den allgemeinen Integralsinus Si(z, a) », Acta Mathematica, vol. 85,‎ , p. 117-181 (DOI 10.1007/BF02395744)
  8. (en) K.-D. Reinsch, R. Bulirsch et U. Puschmann, « Numerical calculation of the generalized sine and cosine integral », Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 32, no 2,‎
  9. (en) William J. Cody, « Chebyshev approximations for the Fresnel integrals », Mathematics of Computation, vol. 22,‎ , p. 450-453 (DOI 10.1090/S0025-5718-68-99871-2)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]