Intégrale de Fresnel

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L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.

Formule de Fresnel[modifier | modifier le code]

Les fonctions S(x) et C(x) non normalisées

On en déduit l'intégrale de Fresnel complexe :

Convergence de l'intégrale[modifier | modifier le code]

La convergence de l'intégrale de Fresnel se montre par intégration par parties.

Soient et tel que . Posons

et

On choisit

Dès lors,

Pour le premier terme,

car .

Concernant le deuxième terme, la fonction est continue sur donc intégrable sur . De plus,

qui est intégrable en et
donc est aussi intégrable en +∞ d'après le critère de Riemann.

Finalement, est intégrable sur donc l'intégrale de Fresnel converge.

La convergence de se montre de la même manière en choisissant comme primitive de pour l'intégration par parties.

Définition[modifier | modifier le code]

Les fonctions S(x) et C(x) normalisées

Les fonctions de Fresnel sont des fonctions spéciales, définies par les intégrales et développement en série entière associés :

Ces fonctions sont parfois définies avec l'argument dans les intégrales définissant S(x) et C(x). Les intégrales sont alors multipliées par et les intégrandes sont divisés par x.

La formule de Fresnel vue précédemment est donc la limite en +∞ des deux fonctions S et C non normalisées.

Calcul de l'intégrale de Fresnel[modifier | modifier le code]

Par une intégrale à paramètre[modifier | modifier le code]

Considérons pour tout réel la fonction de ℝ+ dans ℂ définie par

Cette fonction est intégrable, car continue sur ℝ+ et majorée en module par , qui est intégrable en +∞.

Il est donc possible de poser , la fonction définie pour tout par l'intégrale à paramètre suivante :

On montre que est continue sur ℝ et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe C1 sur ℝ+* avec

En simplifiant l'expression de et en l'intégrant de 0 à +∞, on en déduit que

On se sert alors d'une intégrale classique :

et de l'expression sous la forme pour en déduire que

.


Il reste à prendre les parties réelle et imaginaire pour conclure que :

et

.

Par intégration complexe[modifier | modifier le code]

Il est aussi possible d'intégrer sur les bornes du triangle de sommets puis de faire tendre vers l'infini.

Contour utilisé pour le calcul

Intéressons nous d'abord à .

après un changement de variable . Or, sur , la concavité de donne

donc

donc

Le théorème des gendarmes donne ainsi . Grâce au résultat de l'intégrale de Gauss, . De plus, .

La fonction est entière donc le théorème intégral de Cauchy assure que

Dès lors,

donc

L'identification des parties réelles et imaginaires donne

Articles connexes[modifier | modifier le code]