Exponentielle intégrale

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En mathématiques, la fonction exponentielle intégrale, habituellement notée Ei, est définie par :

Comme l'intégrale de la fonction inverse () diverge en 0, cette définition doit être comprise, si x > 0, comme une valeur principale de Cauchy.

Lien avec le logarithme intégral[modifier | modifier le code]

La fonction Ei est liée à la fonction li (logarithme intégral) par :

Développement en série de Ei[modifier | modifier le code]

Représentation graphique des fonctions E1 (en haut) et Ei (en bas), pour x > 0.

L'exponentielle intégrale a pour développement en série :

γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Les fonctions En[modifier | modifier le code]

L'exponentielle intégrale est reliée à une autre fonction, notée E1 définie, pour x > 0, par :

On dispose alors de la relation, pour x > 0 :

Les deux fonctions s'expriment en fonction de la fonction entière définie par :

En effet, on peut montrer que, pour x > 0 :

et

La relation donnée pour E1 permet d'étendre cette fonction sur tout ouvert simplement connexe du plan complexe ne contenant pas 0, en prenant une détermination du logarithme sur ce plan. On prend généralement comme ouvert le plan complexe privé des réels strictement négatifs.

Plus généralement, on définit, pour tout entier n strictement positif, la fonction En par :

Ces fonctions sont reliées par la relation :

Calcul de E1[modifier | modifier le code]

La fonction E1 ne possède pas d’expression à l’aide des fonctions élémentaires usuelles, d’après un théorème dû à Liouville. Différentes méthodes peuvent être utilisées afin de calculer E1(x) en double précision.

Pour x compris entre 0 et 2,5[modifier | modifier le code]

On a :

Cette série convergente peut théoriquement être utilisée pour calculer E1(x) pour tout réel x > 0 mais avec les opérations à virgule flottante, le résultat est inexact pour x > 2,5 à cause de la perte de précision relative quand on soustrait des nombres d'ordres de grandeur différents.

Pour x > 40[modifier | modifier le code]

Erreur relative de l'approximation asymtotique pour diverses valeurs du nombre N de termes de la somme partielle : N = 1 (rouge), 2 (vert), 3 (jaune), 4 (bleu) et 5 (rose)

Il existe une série divergente permettant d'approcher E1 pour les grandes valeurs de Re(z), obtenue par intégration par parties[1], qui donne le développement asymptotique suivant :

avec quand z tend vers .

Afin d'avoir une précision de 64 bit (double précision), il faut utiliser la valeur N = 40.[réf. souhaitée]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Norman Bleistein et Richard A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, (ISBN 978-0-486-65082-1), p. 3.

(en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 228-230

Voir aussi[modifier | modifier le code]