Conjonction logique

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La conjonction logique de deux événements, représente le fait que deux événements sont conjoints (présents simultanément). Dans le langage logique ou mathématique et dans les domaines techniques qui l'emploient, la conjonction, ou ET logique, est un opérateur logique binaire dans le calcul des propositions. La proposition obtenue en reliant deux propositions par cet opérateur s'appelle également leur conjonction, ou leur produit logique. La conjonction de deux propositions P et Q est vraie si les deux propositions sont simultanément vraies; sinon elle est fausse.

Notation[modifier | modifier le code]

On peut noter la conjonction logique de plusieurs manières, dont :

  • "P et Q"
  • "P ∧ Q", lue "P et Q"

Le symbole « ∧ » s'appelle connecteur de conjonction.

Les langages informatique utilisent plus souvent le & (esperluette), qui a l'avantage d'exister en ASCII, ce qui n'est pas le cas du symbole ∧) pour représenter cette opération.

Certains langages (Java[1] ou Matlab[2]) utilisent « && » pour le « ET court-circuit », pour lequel « P && Q » renvoie « faux » si P vaut faux, même si Q est inconnu (lire Q renverrait une erreur).

Table de vérité[modifier | modifier le code]

La table de vérité d’une conjonction logique est la suivante :

P Q P ∧ Q
F F F
F V F
V F F
V V V

ou

P Q P ∧ Q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Intuitivement, l'opérateur logique travaille de la même manière que le mot commun « et ». La phrase « Il pleut et je suis à l'intérieur » affirme que deux choses sont simultanément vraies : qu'il pleut dehors, et que je suis à l'intérieur. Logiquement, cette affirmation serait notée A et B, si A représente l'affirmation « il pleut », et B remplace « je suis à intérieur ».

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soient P, Q et R trois propositions.

Idempotence du « et »
(PP) ⇔ P
Commutativité du « et »
(PQ) ⇔ (QP)
Associativité du « et »
((PQ) ∧ R) ⇔ (P ∧ (QR))
La négation d'une conjonction est la disjonction des négations
¬ (PQ) ⇔ ((¬ P) ∨ (¬ Q))
La négation d'une disjonction est la conjonction des négations
¬ (PQ) ⇔ ((¬ P) ∧ (¬ Q))
Distributivité de « ou » par rapport à « et »
(P ∨ (QR)) ⇔ ((PQ) ∧ (P ∨ R))
Distributivité de « et » par rapport à « ou »
(P ∧ (QR)) ⇔ ((PQ) ∨ (PR))
Loi de non contradiction
P ∧ (¬ P) ⇔ 0

La généralisation de la conjonction à des familles (éventuellement infinies) de propositions est la quantification universelle, qui fait partie du calcul des prédicats.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]