Hypercube

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Une projection d'un hypercube (dans une image bidimensionnelle).

Un hypercube est, en géométrie, un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte, convexe constituée de groupes de segments parallèles opposés alignés dans chacune des dimensions de l'espace, à angle droit les uns par rapport aux autres.

Un hypercube n-dimensionnel est aussi appelé un n-cube. Le terme « polytope de mesure » a aussi été utilisé (notamment par Coxeter), mais il est tombé en désuétude. Enfin, le cas particulier du 4-cube est souvent désigné par le terme de tesseract.

Définition[modifier | modifier le code]

Si E est un espace euclidien de dimension n muni d'une base orthonormale, on définit un hypercube unité comme l'hypervolume délimité par les 2n points dans E ayant des coordonnées égales à 0 ou 1 reliés par des segments de droite. Les hypercubes sont les figures obtenues à partir de l'hypercube unité par des similitudes.

Représenter un hypercube de dimension n[modifier | modifier le code]

Animation montrant comment construire un tesseract à partir d'un point.

Pour représenter un hypercube de dimension n, on procède comme suit :

  • dimension 1 : un point est un hypercube de dimension zéro. Si l'on déplace ce point d'une longueur unité, il balaiera un segment de droite, qui est un hypercube unité de dimension 1

Hypercube-dim1.PNG

  • dimension 2 : si l'on déplace ce segment d'une longueur unité dans une direction perpendiculaire à partir de lui-même ; il balaie un carré bidimensionnel.

Hypercube-dim2.PNG

  • dimension 3 : si l'on déplace le carré d'une longueur unité dans la direction perpendiculaire à l'emplacement de celui-ci, il engendrera un cube tridimensionnel.

Hypercube-dim3.PNG

  • dimension 4 : si on déplace le cube d'une longueur unité dans la quatrième dimension, il engendrera un hypercube unité quadridimensionnel (un tesseract unité).

Hypercube-dim4.PNG

(Dimension n > 3 : on trace un hypercube de dimension n – 1, on reproduit son image et on lie les points deux à deux.)

En résumé, la construction d'un hypercube se fait par la translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire aux dimensions de ce cube.

Chaque nouvelle dimension est perpendiculaire aux précédentes.

Les hypercubes constituent l'une des trois familles de polytopes réguliers qui sont représentés dans un nombre quelconque de dimensions (les deux autres sont les simplexes et les hyperoctaèdres). Le polytope dual d’un hypercube est un hyperoctaèdre. Le 1-squelette d’un hypercube est un graphe d'hypercube.

Une généralisation du cube aux dimensions n plus grandes que 3 est appelée un hypercube n-dimensionnel ou n-cube. Le tesseract est l'hypercube quadridimensionnel ou 4-cube. C'est un polytope régulier. C'est aussi un cas particulier de parallélotope : un hypercube est un parallélotope droit dont les arêtes sont de même longueur.

Un patron d'hypercube.

4 dimensions[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Tesseract.

Le 4-cube est également appelé tesseract, d'après Charles Howard Hinton.

D'après la formule de Sommerville (en) (voir infra), le tesseract est composé de :

  • 16 sommets ;
  • 32 arêtes ;
  • 24 faces planes carrées ;
  • 8 faces tridimensionnelles cubiques.

Pour un 4-cube de côté c, on a les mesures suivantes :

  • « volume » (quadridimensionnel) : c4 ;
  • « surface externe » (tridimensionnelle) : 8c3 ;
  • « aire totale » (bidimensionnelle) : 24c2.

Les faces d'un 4-cube sont :

  • avant / arrière ;
  • gauche / droite ;
  • haut / bas ;
  • ana / kata.

n dimensions[modifier | modifier le code]

Pour un n-cube de côté c :

  • le volume est cn.
    Si on le coupe en n tranches par des hyperplans perpendiculaires à la diagonale, les volumes des tranches sont les nombres d'Euler ;
  • l'aire totale est Fn c2 avec Fn le nombre de 2-faces (voir infra) ;
  • le polytope dual est l'hyperoctaèdre à n dimensions (appelé aussi n-polytope croisé).

Éléments[modifier | modifier le code]

En notant Nn,k le nombre de k-cubes sur la frontière d'un n-cube (qui est nul si k < 0 ou k > n et qui vaut 1 si k = n = 0), on a[1] :

.

Par conséquent[2],

donc

.

Par exemple, dans un n-cube :

  • le nombre Nn,2 = Fn de 2-faces est n(n – 1) 2n–3 ;
  • le nombre Nn,n–1 de « côtés » est 2n (un segment 1-dimensionnel a deux points aux extrémités ; un carré 2-dimensionnel a quatre bords ; un cube 3-dimensionnel a 6 faces 2-dimensionnelles ; un hypercube 4-dimensionnel (tesseract) a 8 cellules).
Éléments d'hypercube
Noms Graphe Symbole de Schläfli
Coxeter-Dynkin
Sommets
(0-faces)
Arêtes
(1-faces)
Faces
(2-faces)
Cellules
(3-faces)
(4-faces) (5-faces)
n-cube 2n n 2n–1 n(n – 1) 2n–3 n(n – 1)(n – 2)/3 2n–4 n(n – 1)(n – 2)(n – 3)/3 2n–7 etc.
0-cube
Point
Complete graph K1.svg 1
1-cube
Segment
Complete graph K2.svg {} ou {2}

CDW ring.svg
2 1
2-cube
Carré
Tétragone
2-cube.svg {4}

CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svg
4 4 1
3-cube
Cube
Hexaèdre
3-cube graph.svg {4,3}

CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
8 12 6 1
4-cube
Tesseract
Octachore
4-cube graph.svg {4,3,3}

CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
16 32 24 8 1
5-cube
Penteract
5-cube graph.svg {4,3,3,3}

CDW ring.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
32 80 80 40 10 1

Voisinage dans une grille d'hypercube[modifier | modifier le code]

La formule précédente permet de répondre à la question : dans une grille régulière d'hypercubes, combien de voisins possède un hypercube ? Il y a un voisin pour chaque élément de la frontière, c'est-à-dire, en utilisant la formule du binôme :

.

On peut vérifier par exemple que chaque carré d'un pavage possède 32 – 1 = 8 voisins, ou que chaque cube d'un empilement régulier de cubes possède 33 – 1 = 26 voisins.

Rotation d'un n-cube[modifier | modifier le code]

Rotation d'un hypercube.

La définition des rotations dans un espace euclidien quelconque passe par l'algèbre linéaire, et leurs propriétés ne se déduisent pas aisément de celles des rotations en dimension 3. On montre cependant que, de même qu'il est possible de faire tourner un cube autour d'une arête, on peut faire tourner un tesseract autour d'une de ses 2-faces carrées[3], qu'un hypercube 5-dimensionnel peut tourner autour d'un cube entier, etc.

Représentations littéraires et artistiques[modifier | modifier le code]

  • Dans La maison biscornue, une nouvelle de science-fiction de Robert Heinlein, un architecte construit une maison dont le plan est un patron d'hypercube ; à la suite d'un tremblement de terre, la maison se replie pour devenir un véritable hypercube.
  • Dans le film de science-fiction Cube 2, les héros sont enfermés dans un tesseract, ou du moins ils évoluent en se déplaçant d'un cube à l'autre parmi les faces de l'hypercube. D'un cube à l'autre, l'orientation de la pesanteur peut varier (en tout cas les personnages le ressentent quand ils passent d'un cube à l'autre) le temps peut se dilater ou se contracter, et les personnages sont amenés à rencontrer des doubles d'eux-mêmes à cause de la superposition de futurs possibles. Mais le lien entre ces propriétés et le fait que l'histoire se déroule dans un tesseract n'est pas explicite et peut-être même inutile, la quatrième dimension étant plus abordée que l'hypercube en question.
  • En architecture, l'Arche de la Défense près de Paris en France, est une projection en trois dimensions d'un hypercube de dimension 4.
  • Le tableau Corpus hypercubus (Salvador Dalí, 1954) décrit un Jésus crucifié sur le patron d'un hypercube.
  • Le roman Factoring Humanity (Robert J. Sawyer, 1998), abordant le thème de la communication avec une civilisation extraterrestre, décrit l'hypothèse selon laquelle les messages extraterrestres se présenteraient sous la forme d'un hypercube.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hypercube » (voir la liste des auteurs).

  1. Coxeter 1973, p. 122 sur Google Livres.
  2. (en) D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions, Londres, Methuen, (lire en ligne), p. 29.
  3. (en) The Tesseract et (en) 4D Visualization expliquent et illustrent avec des animations les rotations quadridimensionnelles.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Article connexe[modifier | modifier le code]

Hypercube magique

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • (en) Seeing into four dimensions : comment visualiser un hypercube, par Ken Perlin.
  • (en) Hypercube, par Milosz : projection d'un hypercube avec ou sans perspective, rotation à la souris autour des 4 axes.
  • (fr) 4dimensions : explication de la notion d'un espace à quatre dimensions par l'hypercube. Créé par Florian Mounier.

Bibliographie[modifier | modifier le code]