Icositétrachore

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

|||Sciences

Icositétrachore
(24-cellules)
Diagramme de Schlegel(sommets et arêtes)
Diagramme de Schlegel
(sommets et arêtes)

Type Polychore régulier
Cellules 24 {3,4}
Faces 96 {3}
Arêtes 96
Sommets 24

Symbole de Schläfli {3,4,3}
t1{3,3,4}
t1{31,1,1}
Polygone de Pétrie Dodécagone
Groupe(s) de Coxeter F4, [3,4,3] o(1152)
B4, [4,3,3] o(384)
D4, [31,1,1] o(192)
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
Dual Lui-même
Propriétés Convexe, isogonal, isotoxal, isoédral

L'icositétrachore, ou « 24-cellules » est un 4-polytope régulier convexe. Il est spécifique à la dimension 4 dans le sens où il ne possède aucun équivalent dans une autre dimension.

Sommets[modifier | modifier le code]

Représentation dans un plan d'un icositétrachore régulier, les sommets étant répartis en trois sous-ensembles de trois couleurs, chacun étant un hexadécachore régulier.

On peut définir un icositétrachore dans R^4 au moyen des sommets de coordonnées (\pm 1, \pm 1, 0 ,0), ainsi que ceux obtenus en permutant ces coordonnées. Ils sont au nombre de 24.

On peut répartir ces sommets en trois familles dont chacune correspond aux sommet d'un hexadécachore :

  • HexaDec[1] : (\pm 1, \pm 1, 0, 0) et (0, 0, \pm 1, \pm 1)
  • HexaDec[2] : (\pm 1, 0, 0, \pm 1) et (0, \pm 1, \pm 1, 0)
  • HexaDec[3] : (\pm 1, 0, \pm 1, 0) et (0, \pm 1, 0, \pm 1)

Si on regroupe ensemble deux de ces hexadécachores, on obtient les sommets d'un tesseract. Par exemple, les sommets de Hexadec[1] et Hexadec[2] donnent le tesseract suivant :

(1,1,0,0) (1,0,0,1) (1,0,0,–1) (1,–1,0,0) carré de côtés (0,–1,0,1) et (0,–1,0,–1)
(0,1,1,0) (0,0,1,1) (0,0,1,–1) (0,–1,1,0) translaté du précédant de (–1,0,1,0) pour former un cube,

cube qu'on translate de (–1,0,–1,0) pour obtenir les derniers sommets :

(0,1,–1,0) (0,0,–1,1) (0,0,–1,–1) (0,–1,–1,0)
(–1,1,0,0) (–1,0,0,1) (–1,0,0,–1) (–1,–1,0,0)

Arètes[modifier | modifier le code]

Partition des arêtes d'un icositétrachore en trois hypercubes.

Les arêtes de l'icositétrachore sont ceux des trois tesseracts qu'on peut définir de la façon précédente. Dans l'exemple ci-dessus, ce sont aussi les segments joignant deux sommets distants de \sqrt{2}. Ils sont au nombre de 96. Chaque sommet appartient à huit arêtes.

Faces[modifier | modifier le code]

Les faces sont des triangles équilatéraux, dont les sommets sont distants de \sqrt{2}. Dans l'exemple ci-dessus, les sommets d'une face ont pour coordonnées (a,b,0,0), (a,0,c,0), (a,0,0,d), ou bien (b,c,0,0), (b,0,d,0), (0,c,d,0) (ainsi que ceux obtenus par une même permutation), avec a=\pm 1, b=\pm 1, c=\pm 1 et d=\pm 1. Ils sont au nombre de 96. Chaque face possède un et un seul sommet de chaque hexadécagore défini plus haut.

Cellules[modifier | modifier le code]

Les cellules sont des octaèdres réguliers. Dans l'exemple précédent, huit octaèdres sont contenus dans les hyperplans d'équation x=\pm 1, y=\pm 1, z=\pm 1, t=\pm 1, et seize autres sont contenus dans les hyperplans d'équation \pm x \pm y \pm z \pm t = 2. Il y a 24 cellules en tout.

Dual[modifier | modifier le code]

Le dual de l'icositétrachore précédent possède pour sommets les points de coordonnées (\pm 1,0,0,0), ainsi que les points analogues obtenus par permutation des coordonnées, et les points de coordonnées (\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}). Il s'agit également d'un icositétrachore, de sorte que l'icositétrachore est autodual.

Sur les autres projets Wikimedia :