Groupe de Heisenberg

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En mathématiques, le groupe de Heisenberg d'un anneau unifère A (non nécessairement commutatif) est le groupe multiplicatif des matrices triangulaires supérieures de taille 3 à coefficients dans A et dont les éléments diagonaux sont égaux au neutre multiplicatif de l'anneau :

Originellement, l'anneau A choisi par Werner Heisenberg était le corps ℝ des réels. Le « groupe de Heisenberg continu », , lui a permis d'expliquer, en mécanique quantique, l'équivalence entre la représentation de Heisenberg et celle de Schrödinger. On peut généraliser sa définition en géométrie symplectique.

Le « groupe de Heisenberg discret » correspond à l'anneau ℤ des entiers.

Le groupe de Heisenberg , où p est un nombre premier, correspond au corps premier fini Fp = ℤ/p. C'est un p-groupe fini, d'ordre p3.

Structure de groupe[modifier | modifier le code]

est un sous-groupe du groupe linéaire GL(3, A).

La loi sur A3 induite par la bijection

est :

C'est donc le produit semi-direct A⋉(A×A), le groupe additif A agissant sur le produit direct A×A par : a⋅(b, c) = (b, c + ab).

Par construction, A3 muni de cette loi est un groupe isomorphe à , dans lequel :

  • les puissances n-ièmes sont données par ,
  • le symétrique de est , donc
  • le commutateur de et est , donc
  • le groupe dérivé et le centre sont égaux à 0×0×A.

Le groupe est par conséquent nilpotent de classe 2, donc non abélien (sauf si A est l'anneau nul, auquel cas le groupe est trivial).

Groupe de Heisenberg continu[modifier | modifier le code]

est un groupe de Lie réel de dimension 3. Le groupe de Heisenberg discret en est un réseau.

Géométrie symplectique linéaire[modifier | modifier le code]

Plus généralement, on peut associer un groupe de Heisenberg à tout espace vectoriel symplectique ( est une forme bilinéaire non dégénérée alternée sur ). Le groupe de Heisenberg est l'espace topologique produit , muni de la loi de groupe :

Le groupe est une extension du groupe additif de . L'algèbre de Lie de est l'espace vectoriel , muni du crochet de Lie

Groupe de Heisenberg discret[modifier | modifier le code]

Le groupe , identifié à muni de la loi ci-dessus, est engendré par et . En faisant intervenir leur commutateur , on démontre qu'une présentation de ce groupe est donnée par trois générateurs et trois relations : , et .

D'après le théorème de Bass, a une croissance (en) polynomiale d'ordre 4.

Groupe de Heisenberg sur Fp[modifier | modifier le code]

D'après sa structure (voir supra) :

Cas p premier impair[modifier | modifier le code]

Le groupe est le quotient de par le sous-groupe normal . Comme p est impair, ce sous-groupe est constitué des puissances p-ièmes d'éléments du groupe. Une présentation de (déduite de celle de ci-dessus) est donc donnée par trois générateurs et les relations : , , et .

L'exposant de est p.

Cas p = 2[modifier | modifier le code]

Le groupe est isomorphe au groupe diédral D8. En effet, il est d'ordre 8 et engendré par les images des générateurs de , ou encore par , d'ordre 2 et , d'ordre 4, qui vérifient

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Keith Conrad, « Groups of order p3 »

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Daniel K. Biss et Samit Dasgupta, « A presentation for the unipotent group over rings with identity », Journal of Algebra, vol. 237, no 2,‎ , p. 691-707 (DOI 10.1006/jabr.2000.8604)