Sous-groupe normal

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En théorie des groupes, un sous-groupe normal ou sous-groupe distingué ou sous-groupe invariant H d'un groupe G est un sous-groupe globalement stable par l'action de G sur lui-même par conjugaison. Les sous-groupes normaux interviennent naturellement dans la définition du quotient d'un groupe. Les sous-groupes normaux de G sont exactement les noyaux des morphismes définis sur G.

Les sous-groupes normaux connaissent des applications en géométrie dans l'étude des actions de groupes, en topologie algébrique dans la classification des revêtements, en théorie de Galois dans la correspondance de Galois.

Définition[modifier | modifier le code]

On dit qu'un sous-groupe H d'un groupe G est normal (ou distingué) dans G s'il est stable par conjugaison, c'est-à-dire si :

\forall h\in H,~\forall x\in G,\qquad x h x^{-1} \in H.

On note alors H\trianglelefteq G.

Une façon équivalente de définir un sous-groupe distingué est de dire que les classes à droite et à gauche de H dans G coïncident, c'est-à-dire :

\forall x \in G,\qquad x H = H x.

Une propriété[modifier | modifier le code]

Si X et Y sont deux parties d'un groupe G, on désignera par XY l'ensemble des éléments de G de la forme xy, avec x dans X et y dans Y.

Soit H un sous-groupe normal d'un groupe G. Il résulte de la relation

\forall x \in G,\qquad x H = H x

que si X est une partie de G, alors XH = HX. (Passer aux réunions, x parcourant X.) C'est le cas en particulier si X est un sous-groupe K (non forcément normal) de G. On prouve[1] facilement que si A et B sont des sous-groupes d'un groupe G, si AB = BA, alors AB est un sous-groupe de G et est évidemment le sous-groupe de G engendré par A et B. Donc[2] :

Si H et K sont deux sous-groupes d'un groupe G, si un au moins de ces deux sous-groupes est normal dans G, alors le sous-groupe de G engendré par H et K est l'ensemble HK = KH.

Groupe quotient[modifier | modifier le code]

Article détaillé : groupe quotient.

Les sous-groupes distingués sont importants dans l'étude des groupes quotients à cause du fait suivant :

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G; pour que la relation d'équivalence dans G (en x et y) xH = yH soit compatible avec la loi de G (autrement dit, pour que l'équivalence de x et de y et l'équivalence de z et de t entraînent toujours celle de xz et de yt), il faut et il suffit que le sous-groupe H soit distingué dans G. (La relation d'équivalence xH = yH peut alors s'écrire aussi Hx = Hy.)

On peut alors définir dans l'ensemble quotient correspondant à cette relation d'équivalence une (et une seule) loi de composition * telle que, pour tous éléments a, b de G, on ait (aH) * (bH) = abH. Cette loi de composition est une loi de groupe; muni de cette loi de groupe, l'ensemble quotient est appelé groupe quotient de G par H et noté G/H.

Lien avec les morphismes de groupes[modifier | modifier le code]

  • L'image réciproque d'un sous-groupe normal par un morphisme de groupes est un sous-groupe normal.

Plus précisément, si N est un sous-groupe normal de G'~ et si f:G\to G' est un morphisme alors l'image réciproque f^{-1}(N) est un sous-groupe normal de G car pour h\in f^{-1}(N), l'image f(h) appartient à N, et donc f(xhx^{-1})=f(x)f(h)f(x)^{-1} aussi, pour tout x\in G.

  • Les sous-groupes normaux d'un groupe G sont les sous-ensembles de G qui sont le noyau d'un morphisme de G dans un autre groupe.

En effet, le noyau d'un morphisme de groupes f:G\to G' est un sous-groupe normal de G, comme image réciproque du sous-groupe trivial de G'~. Réciproquement, tout sous-groupe normal N de G est un noyau : celui de la surjection canonique de G dans le groupe quotient G/N.

  • L'image directe d'un sous-groupe normal par un morphisme surjectif est un sous-groupe normal du groupe d'arrivée.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • {e} et G sont toujours des sous-groupes normaux de G. S'ils sont les seuls sous-groupes normaux et si G n'est pas réduit à {e}, alors G est dit simple.
  • L'intersection d'une famille non vide de sous-groupes normaux d'un groupe G est un sous-groupe normal de G[3].
  • Le sous-groupe engendré par une famille de sous-groupes normaux d'un groupe G est un sous-groupe normal de G[4].
  • Tout groupe abélien est un groupe de Dedekind, c'est-à-dire que tous ses sous-groupes sont normaux.
  • Le groupe alterné A4 possède un sous-groupe normal K isomorphe au groupe de Klein. Les trois sous-groupes d'ordre 2 de K sont normaux dans K, mais dans A4 ils sont conjugués, donc non normaux.
  • Si G est un groupe fini et si p est le plus petit diviseur premier de son ordre, alors tout sous-groupe de G d'indice p est normal dans G[5].
  • Tout sous-groupe d'indice 2 (d'un groupe non nécessairement fini) est normal.
  • Un sous-groupe caractéristique de G est un sous-groupe stable par l'action de tous les automorphismes de G (ce qui n'est pas toujours le cas dans l'exemple précédent). Un tel sous-groupe est en particulier stable par tout automorphisme intérieur, autrement dit c'est un sous-groupe normal. Par exemple, le centre et le sous-groupe dérivé d'un groupe sont des sous-groupes caractéristiques donc normaux.
  • Si G est un groupe et H un sous-groupe de G, le cœur de H dans G est défini par HG = ∩g∈G gHg–1. C'est un sous-groupe de H qui est normal dans G et qui contient tous les sous-groupes de H qui sont normaux dans G. Si H est d'indice fini n dans G alors le groupe quotient G/HG est isomorphe à un sous-groupe de Sn, le groupe symétrique sur n éléments.

Histoire[modifier | modifier le code]

La notion de sous-groupe normal apparaît pour la première fois dans ce passage[8] de Galois : « quand un groupe G en contient un autre H, le groupe G peut se partager en groupes, que l'on obtient chacun en opérant sur les permutations de H une même substitution; en sorte que

\ G = H + HS + HS' + \cdots .

Et aussi il peut se diviser en groupes qui ont tous les mêmes substitutions, en sorte que

\ G = H + TH + T'H + \cdots .

Ces deux genres de décompositions ne coïncident pas ordinairement. Quand ils coïncident, la décomposition est dite propre. »

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 37-38.
  2. Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 144.
  3. N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.35, ou encore W. R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 29.
  4. W. R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 29.
  5. G. Frobenius, « Über endliche Gruppen », Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, janvier à mai 1895, p. 171, consultable sur le site Internet Archive. (Référence à « Frobenius 1895 » donnée par Fabrice Castel, Groupes finis, préparation à l'agrégation externe, Université de Rennes 1, 2009-2010, p. 47.)
  6. (en) Anthony W. Knapp (de), Basic Algebra, Springer,‎ 2006 (ISBN 978-0-81763248-9, lire en ligne), p. 163
  7. Knapp 2006, p. 130
  8. Évariste Galois, « Lettre à Auguste Chevalier », Revue encyclopédique, Septembre 1832; cité par H. Wussing, The Genesis of the Abstract Group Concept, tr. anglaise, 1984, réimpr. Dover, 2007, p. 115 et 305.

Articles connexes[modifier | modifier le code]