Liste des petits groupes

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La liste mathématique suivante contient tous les groupes finis d'ordre inférieur ou égal à 17, à isomorphisme près.

Terminologie et notations[modifier | modifier le code]

La notation G × H désigne le produit direct des deux groupes ; Gn désigne le produit direct de n copies du groupe G. GH désigne un produit semi-directH agit sur G ; quand l'action exacte de H sur G est omise, toutes les actions non triviales conduisent au même groupe produit (à isomorphisme près).

Les groupes simples d'ordre n < 60 sont les groupes cycliques Zn, avec n premier. Le signe d'égalité ("=") désigne l'isomorphisme.

Dans les graphes des cycles, l'élément neutre est représenté par un cercle noir. Le plus petit groupe que ce graphe ne caractérise pas à isomorphisme près est d'ordre 16.

La liste des sous-groupes ne mentionne que ceux distincts du groupe trivial et du groupe entier. Quand il existe plusieurs sous-groupes isomorphes, leur nombre est indiqué entre parenthèses.

Petits groupes abéliens[modifier | modifier le code]

Les groupes abéliens finis ont une classification simple : ils sont cycliques, ou produits directs de groupes cycliques. Voir l'article détaillé Groupes abéliens.

Ordre Groupe Sous-groupes Propriétés Graphe des cycles
1 groupe trivial = Z1 = S1 = A2 - de nombreuses propriétés triviales
GroupDiagramMiniC1.svg
2 Z2 = S2 = D1 - simple, plus petit groupe non trivial
GroupDiagramMiniC2.svg
3 Z3 = A3 - simple
GroupDiagramMiniC3.svg
4 Z4 Z2 -
GroupDiagramMiniC4.svg
groupe de Klein = Z2 × Z2 = D2 Z2 (3) plus petit groupe non cyclique
GroupDiagramMiniD4.svg
5 Z5 - simple
GroupDiagramMiniC5.svg
6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2  
GroupDiagramMiniC6.svg
7 Z7 - simple
GroupDiagramMiniC7.svg
8 Z8 Z4 , Z2 -
GroupDiagramMiniC8.svg
Z4 × Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3)  
GroupDiagramMiniC2C4.svg
Z23 Z22 (7) , Z2 (7) les éléments autres que l'identité correspondent aux points du plan de Fano (le plus petit plan projectif fini), les Z2 × Z2 sous-groupes aux droites de ce plan
GroupDiagramMiniC2x3.svg
9 Z9 Z3  
GroupDiagramMiniC9.svg
Z32 Z3 (4)  
GroupDiagramMiniC3x2.svg
10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2  
GroupDiagramMiniC10.svg
11 Z11 - simple
GroupDiagramMiniC11.svg
12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2  
GroupDiagramMiniC12.svg
Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22  
GroupDiagramMiniC2C6.svg
13 Z13 - simple
GroupDiagramMiniC13.svg
14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2  
GroupDiagramMiniC14.svg
15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3  
GroupDiagramMiniC15.svg
16 Z16 Z8 , Z4 , Z2  
GroupDiagramMiniC16.svg
Z24 Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)  
GroupDiagramMiniC2x4.svg
Z4 × Z22 Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 ×Z2 (6) ce groupe a le même graphe des cycles que celui engendré par les matrices de Pauli (mais ne lui est pas isomorphe)
GroupDiagramMiniC2x2C4.svg
Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2  
GroupDiagramMiniC2C8.svg
Z42 Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)  
GroupDiagramMiniC4x2.svg
17 Z17 - simple

Petits groupes non abéliens[modifier | modifier le code]

On ne connait pas de classification complète des groupes non abéliens. Tout groupe simple non abélien est d'ordre pair (c'est le théorème de Feit et Thompson) ; le plus petit est le groupe A5, d'ordre 60. Le plus petit groupe non abélien d'ordre impair est le groupe de Frobenius F21, d'ordre 21.

Ordre Groupe Sous-groupes Propriétés Graphe des cycles
6 S3 = D3 Z3 , Z2 (3) plus petit groupe non abélien, groupe des symétries du triangle équilatéral
GroupDiagramMiniD6.svg
8 D4 Z4, Z22 (2) , Z2 (5) groupe des symétries du carré
GroupDiagramMiniD8.svg
groupe des quaternions = Q8 = Dic2 Z4 (3), Z2 plus petit groupe hamiltonien ; plus petit groupe non abélien dont tous les sous-groupes sont normaux ; plus petit groupe dont le centre est un sous-groupe propre ; plus petit groupe admettant un groupe quotient non isomorphe à l'un de ses sous-groupes
GroupDiagramMiniQ8.svg
10 D5 Z5 , Z2 (5) groupe des symétries du pentagone régulier
GroupDiagramMiniD10.svg
12 D6 = D3 × Z2 Z6 , D3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7) groupe des symétries de l'hexagone régulier
GroupDiagramMiniD12.svg
A4 Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) plus petit groupe n'admettant pas de sous-groupes de tous les ordres divisant l'ordre du groupe : pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow)
GroupDiagramMiniA4.svg
Dic3 = Z3⋊Z4 Z2, Z3, Z4 (3), Z6
GroupDiagramMiniX12.svg
14 D7 Z7, Z2 (7) groupe des symétries de l'heptagone régulier
GroupDiagramMiniD14.svg
16[1] D8 Z8, D4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) groupe des symétries de l'octogone régulier
GroupDiagramMiniD16.svg
D4 × Z2 D4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11)
GroupDiagramMiniC2D8.svg
groupe de quaternions généralisé Q16 = Dic4  
GroupDiagramMiniQ16.svg
Q8 × Z2   groupe hamiltonien
GroupDiagramMiniC2Q8.svg
Le groupe quasidiédral (en) d'ordre 16  
GroupDiagramMiniQH16.svg
Le groupe modulaire (en) d'ordre 16  
GroupDiagramMiniC2C8.svg
Z4⋊Z4  
GroupDiagramMinix3.svg
Le groupe engendré par les matrices de Pauli   ce groupe a le même graphe des cycles que le groupe Z4 × Z22, mais ne lui est pas isomorphe
GroupDiagramMiniC2x2C4.svg
G4,4 = Z22⋊Z4  
GroupDiagramMiniG44.svg

Note et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Marcel Wild, « The Groups of Order Sixteen Made Easy », Amer. Math. Monthly,‎ janvier 2005 (lire en ligne)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of small groups » (voir la liste des auteurs)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liste des groupes finis simples

Liens externes[modifier | modifier le code]