Liste des petits groupes

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La liste mathématique suivante décrit les groupes finis (abéliens ou non abéliens) d'ordre inférieur ou égal à 17, à isomorphisme près.

Nombre de groupes pour chaque ordre de 1 à 20
Ordre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Nombre de groupes abéliens[1] 1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 5 1 2 1 2
Nombre de groupes non abéliens[2] 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 9 0 3 0 3
Nombre total de groupes[3],[4] 1 1 1 2 1 2 1 5 2 2 1 5 1 2 1 14 1 5 1 5

Terminologie et notations[modifier | modifier le code]

La notation G × H désigne le produit direct des deux groupes ; Gn désigne le produit direct de n copies du groupe G. GH désigne un produit semi-directH agit sur G ; quand l'action exacte de H sur G est omise, toutes les actions non triviales conduisent au même groupe produit (à isomorphisme près).

Les groupes simples d'ordre n < 60 sont les groupes cycliques Zn, avec n premier. Le signe d'égalité ("=") désigne l'isomorphisme.

Dans les graphes des cycles, l'élément neutre est représenté par un cercle noir. Le plus petit groupe que ce graphe ne caractérise pas à isomorphisme près est d'ordre 16.

La liste des sous-groupes ne mentionne que ceux distincts du groupe trivial et du groupe entier. Quand il existe plusieurs sous-groupes isomorphes, leur nombre est indiqué entre parenthèses.

Petits groupes abéliens[modifier | modifier le code]

Les groupes abéliens finis ont une classification simple : ils sont cycliques, ou produits directs de groupes cycliques.

Ordre Groupe Sous-groupes Propriétés Graphe des cycles
1 groupe trivial = Z1 = S1 = A2 - de nombreuses propriétés triviales
GroupDiagramMiniC1.svg
2 Z2 = S2 = D2 - simple, plus petit groupe non trivial
GroupDiagramMiniC2.svg
3 Z3 = A3 - simple
GroupDiagramMiniC3.svg
4 Z4 Z2 -
GroupDiagramMiniC4.svg
groupe de Klein = Z2 × Z2 = D4 Z2 (3) plus petit groupe non cyclique
GroupDiagramMiniD4.svg
5 Z5 - simple
GroupDiagramMiniC5.svg
6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2  
GroupDiagramMiniC6.svg
7 Z7 - simple
GroupDiagramMiniC7.svg
8 Z8 Z4 , Z2 -
GroupDiagramMiniC8.svg
Z4 × Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3)  
GroupDiagramMiniC2C4.svg
Z23 Z22 (7) , Z2 (7) les éléments autres que l'identité correspondent aux points du plan de Fano (le plus petit plan projectif fini), les Z2 × Z2 sous-groupes aux droites de ce plan
GroupDiagramMiniC2x3.svg
9 Z9 Z3  
GroupDiagramMiniC9.svg
Z32 Z3 (4)  
GroupDiagramMiniC3x2.svg
10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2  
GroupDiagramMiniC10.svg
11 Z11 - simple
GroupDiagramMiniC11.svg
12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2  
GroupDiagramMiniC12.svg
Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22  
GroupDiagramMiniC2C6.svg
13 Z13 - simple
GroupDiagramMiniC13.svg
14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2  
GroupDiagramMiniC14.svg
15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3  
GroupDiagramMiniC15.svg
16 Z16 Z8 , Z4 , Z2  
GroupDiagramMiniC16.svg
Z24 Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15)  
GroupDiagramMiniC2x4.svg
Z4 × Z22 Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 ×Z2 (6) ce groupe a le même graphe des cycles que celui engendré par les matrices de Pauli (mais ne lui est pas isomorphe)
GroupDiagramMiniC2x2C4.svg
Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2  
GroupDiagramMiniC2C8.svg
Z42 Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3)  
GroupDiagramMiniC4x2.svg
17 Z17 - simple

Petits groupes non abéliens[modifier | modifier le code]

On ne connait pas de classification complète des groupes non abéliens. Tout groupe simple non abélien est d'ordre pair (c'est le théorème de Feit et Thompson) ; le plus petit est le groupe A5, d'ordre 60. Le plus petit groupe non abélien d'ordre impair est le groupe de Frobenius F21, d'ordre 21.

Ordre Groupe Sous-groupes Propriétés Graphe des cycles
6 S3 = D6 Z3 , Z2 (3) plus petit groupe non abélien, groupe des symétries du triangle équilatéral
GroupDiagramMiniD6.svg
8 D8 Z4, Z22 (2) , Z2 (5) groupe des symétries du carré
GroupDiagramMiniD8.svg
groupe des quaternions = Q8 = Dic2 Z4 (3), Z2 plus petit groupe hamiltonien ; plus petit groupe admettant un groupe quotient non isomorphe à l'un de ses sous-groupes
GroupDiagramMiniQ8.svg
10 D10 Z5 , Z2 (5) groupe des symétries du pentagone régulier
GroupDiagramMiniD10.svg
12 D12 = D6 × Z2 Z6 , D6 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7) groupe des symétries de l'hexagone régulier
GroupDiagramMiniD12.svg
A4 Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) plus petit groupe n'admettant pas de sous-groupes de tous les ordres divisant l'ordre du groupe : pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow)
GroupDiagramMiniA4.svg
Dic3 = Z3⋊Z4 Z2, Z3, Z4 (3), Z6
GroupDiagramMiniX12.svg
14 D14 Z7, Z2 (7) groupe des symétries de l'heptagone régulier
GroupDiagramMiniD14.svg
16[5] D16 Z8, D8 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) groupe des symétries de l'octogone régulier
GroupDiagramMiniD16.svg
D8 × Z2 D8 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11)
GroupDiagramMiniC2D8.svg
groupe de quaternions généralisé Q16 = Dic4  
GroupDiagramMiniQ16.svg
Q8 × Z2   groupe hamiltonien
GroupDiagramMiniC2Q8.svg
Le groupe quasidiédral (en) d'ordre 16  
GroupDiagramMiniQH16.svg
Le groupe modulaire (en) d'ordre 16  
GroupDiagramMiniC2C8.svg
Z4⋊Z4  
GroupDiagramMinix3.svg
Le groupe engendré par les matrices de Pauli   ce groupe a le même graphe des cycles que le groupe Z4 × Z22, mais ne lui est pas isomorphe
GroupDiagramMiniC2x2C4.svg
G4,4 = Z22⋊Z4  
GroupDiagramMiniG44.svg

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of small groups » (voir la liste des auteurs).

  1. Pour des ordres plus grands, voir la suite A000688 de l'OEIS.
  2. Pour des ordres plus grands, voir la suite A060689 de l'OEIS.
  3. (en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], 1976, p. 52, aperçu sur Google Livres.
  4. Pour des ordres plus grands, voir la suite A000001 de l'OEIS.
  5. (en) Marcel Wild, « The Groups of Order Sixteen Made Easy », Amer. Math. Monthly,‎ (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liste des groupes finis simples

Liens externes[modifier | modifier le code]