Automorphisme intérieur

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Un automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes.

Soit G un groupe et g un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ιg, l'automorphisme de G défini par :

Pour un groupe abélien, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, et ce sous-groupe est isomorphe au groupe quotient de G par son centre. L'isomorphisme est induit par l'action par conjugaison de G sur lui-même.

Définitions[modifier | modifier le code]

Automorphisme intérieur[modifier | modifier le code]

  • Soit G un groupe. Un automorphisme intérieur de G est une application de la forme
    pour un certain élément g de G (on parle alors de l'automorphisme intérieur associé à g).
    Tout automorphisme intérieur de G est un automorphisme du groupe G, c'est-à-dire
    • un morphisme de G dans G :
    • bijectif : la bijection réciproque de ιg est ιg−1, puisque
      et que, comme l'élément neutre appartient au centre Z(G) de G, son automorphisme intérieur associé est l'identité (plus généralement, l'ensemble des points fixes de ιg est exactement le centralisateur de g).
  • Deux éléments de G ou deux sous-groupes de G images l'un de l'autre par un automorphisme intérieur sont dits conjugués.

Remarque : si G est muni de structures supplémentaires (groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique), les automorphismes intérieurs sont toujours des isomorphismes pour les structures considérées.

Sous-groupe normal[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Sous-groupe normal.

Un sous-groupe H de G est dit normal ou distingué dans G lorsqu'il est globalement stable par tous les automorphismes intérieurs. Cela revient à dire qu'il est son seul conjugué.

Groupe des automorphismes intérieurs[modifier | modifier le code]

L'application est un morphisme de groupes de G dans le groupe Aut(G) des automorphismes de G. L'image est exactement l'ensemble des automorphismes intérieurs de G, qui est donc un sous-groupe de Aut(G), noté Int(G). Par le théorème d'isomorphisme, le morphisme surjectif induit un isomorphisme :

.

Si est un automorphisme de G, et si g est un élément de G, alors :

d'où

Le conjugué d'un automorphisme intérieur par un automorphisme est donc un automorphisme intérieur. De ce fait, Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G).

Pour résumer, on dispose donc de deux suites exactes :

et

Le quotient de Aut(G) par Int(G) est noté Out(G) ; ce sont les automorphimes extérieurs de G.

Groupe d'automorphismes d'un sous-groupe normal[modifier | modifier le code]

Avec les notations ci-dessus, si H est un sous-groupe normal de G, tout automorphisme intérieur de G se restreint en un automorphisme de H. D'où un morphisme de groupes éventuellement surjectif . La surjectivité est espérée pour déterminer le groupe des automorphismes de H.

La composition par donne un morphisme , dont le noyau est le centralisateur de H.

Cas des anneaux[modifier | modifier le code]

Un automorphisme d'anneau unifère est dit intérieur s'il est de la forme xuxu−1 pour une certaine unité u de l'anneau.

Histoire[modifier | modifier le code]

Le fait que le groupe des automorphismes intérieurs d'un groupe G est sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G a été énoncé et démontré par Otto Hölder en 1895[1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) O. Hölder, « Bildung zusammengesetzter Gruppen », Mathematische Annalen, vol. 46,‎ , p. 326 (lire en ligne). (Référence donnée par (en) W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, , 2e éd., réimpr. Dover, 2004, p. 84.)