p-groupe

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre, un p-groupe, pour un nombre premier p donné, est un groupe (fini ou infini) dont tout élément a pour ordre une puissance de p[1]. Les p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini sont un exemple important de p-groupes.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Tout sous-groupe et tout quotient d'un p-groupe est un p-groupe.
  • Réciproquement, si H est un p-sous-groupe normal d'un groupe G et si le quotient G/H est un p-groupe, alors G est un p-groupe.
  • On peut tirer du point précédent qu'un produit semi-direct de deux p-groupes est un p-groupe.
  • La somme restreinte d'une famille (finie ou infinie) de p-groupes est un p-groupe.
  • Un groupe fini est un p-groupe si et seulement si son ordre est une puissance du nombre premier p.
  • Dans un p-groupe, si l'indice d'un sous-groupe est fini, alors cet indice est une puissance de p.
  • Tout p-groupe fini non trivial possède un centre non trivial. (Par trivial, on entend réduit à l'élément neutre.)
  • Tout p-groupe fini est nilpotent donc résoluble.
  • Soit G un p-groupe fini d'ordre pn. Pour tout nombre naturel r inférieur ou égal à n, G admet au moins un sous-groupe d'ordre pr.

Remarque[3] : tout groupe d'ordre p2 est abélien. En effet, si Z est le centre (non trivial) d'un tel groupe G alors G/Z est cyclique (car d'ordre 1 ou p) donc G est engendré par la réunion de Z et d'un singleton, si bien que G est abélien. (Il est donc soit cyclique, soit produit de deux groupes cycliques d'ordre p.)

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Cette définition est conforme à W. R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover, 1987, p. 91 ; J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984, p. 295 ; J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 73 ; M. Hall, Jr., The theory of groups, Chelsea, New York, 1976, p. 45 ; M. Reversat, B. Bigonnet, Algèbre pour la licence, Cours et exercices corrigés, Dunod, 2000, p. 51. En revanche, Bourbaki, Algèbre, vol. I, Paris, 1970, ch. I, § 6, n° 5, déf. 9, p. I.72, appelle p-groupe, pour un nombre premier p donné, un groupe fini dont l'ordre est une puissance de p. Cette définition de Bourbaki figure aussi dans S. Lang, Algebra, Addison-Wesley, 1978, p. 2 et D. Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses, 1996, p. 9.
  2. J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 76.
  3. Cette propriété est un exercice standard dans les manuels d'algèbre, par exemple D. Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses, 1996, p. 34.

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]