Théorème de Midy

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En mathématiques, le théorème de Midy, dû au mathématicien français Étienne Midy[1],[2], est un énoncé concernant le développement décimal périodique d'une fraction a/p (comprise, sans perte de généralité, entre 0 et 1), où p est un nombre premier (différent de 2 et 5) tel que la période soit paire. Une telle fraction s'écrit

\frac ap=0,\overline{a_1a_2a_3\dots a_ka_{k+1}\dots a_{2k}}

et le théorème établit que les chiffres dans la deuxième moitié de la période sont les compléments à 9 (en) de ceux qui leur correspondent dans la première moitié. En d'autres termes :

a_i+a_{i+k}=9

ou encore :

a_1\dots a_k+a_{k+1}\dots a_{2k}=10^k-1.

Par exemple,

\frac37=0{,}\overline{428571}\text{ et }428+571=999.

On peut donner des preuves expéditives de ce théorème en utilisant la théorie des groupes. On peut aussi le démontrer par des calculs d'algèbre élémentaire et de congruence sur les entiers.

Théorème de Midy dans d'autres bases[modifier | modifier le code]

Le théorème de Midy ne dépend pas de propriétés particulières du développement décimal, c'est-à-dire qu'il est encore valable dans n'importe quelle base b non divisible par p, à condition bien sûr de remplacer 10k – 1 par bk – 1 et 9 par b – 1. Par exemple, en base cinq :

\frac37=0{,}\overline{203241}_5\text{ et }203_5+241_5=444_5.

Théorème de Midy étendu[modifier | modifier le code]

Le théorème de Midy étendu[3],[4] énonce que si la période du développement en base b de a/p (avec, encore, p premier ne divisant pas b) peut être décomposée en h blocs de taille k, alors la somme de ces blocs est un multiple de bk – 1 :

\sum_{i=0}^{h-1}N_i=s(b^k-1)\text{ avec }0<s<h.

(L'encadrement de l'entier s vient du fait que les h blocs, tous compris entre 0 et bk – 1, ne peuvent pas être tous nuls — sinon a/p = 0 — ni tous égaux à bk – 1 — sinon a/p = 1.)

Par exemple, en reprenant 3/7, on a également :

  • en base dix[4] :
    42+85+71=198=2\times99\text{ et }4+2+8+5+7+1=27=3\times9~;
  • en base cinq :
    20_5+32_5+41_5=143_5=2\times44_5\text{ et }2+0+3+2+4+1=22_5=3\times4.

Le théorème de Midy original est le cas h = 2 : dans ce cas, 0 < s < 2 donc s = 1.

Cas p non premier[modifier | modifier le code]

Dans la formulation ci-dessus de l'énoncé du théorème de Midy (même non étendu), la primalité de p est cruciale. Par exemple[4] (en base dix) :

\frac1{21}=0,\overline{047619}\text{ et }04+76+19=99\text{ mais }047+619\ne999.

En effet, lorsqu'on ne suppose plus que p est un nombre premier ne divisant ni a ni b, mais seulement que p est un entier premier avec a et b, si la période — c'est-à-dire l'ordre multiplicatif de b mod p — est égale à 2k, on n'a plus nécessairement bk ≡ –1 mod p. Or c'est sous cette forme que le critère apparaît naturellement, dans une démonstration qui n'utilise même pas la périodicité (elle s'en déduit)[5],[6] :

Soit a/p ∈ ]0, 1[ une fraction irréductible, de développement 0,a1a2 en base b. Les chiffres ai vérifient ai + ai+k = b – 1 si et seulement si bk ≡ –1 mod p.

On peut cependant remarquer — toujours en supposant que l'ordre multiplicatif de b mod p est 2k — que si bk – 1 est premier avec p (en particulier si p est une puissance d'un nombre premier impair), la condition bk ≡ –1 mod p est encore automatiquement vérifiée[4].

Preuve du théorème étendu[modifier | modifier le code]

Soient p un nombre premier ne divisant pas la base b, l'ordre multiplicatif de b modulo p (c'est-à-dire le plus petit entier n tel que p divise bn − 1), a/p une fraction strictement comprise entre 0 et 1 et 0,a1a2 son développement en base b. Alors, multiplier a/p par b revient à lui ajouter l'entier N := ab – 1/p, donc le développement de a/p est -périodique et a1a2a est l'écriture en base b de N.

Maintenant, supposons que ℓ = hk (avec h > 1) et notons m l'entier b − 1/bk − 1. Alors, p divise a(b − 1) = am(bk − 1) et ne divise pas bk − 1 (car k < ℓ) donc il divise am, si bien que la fraction

\frac N{b^k-1}=\frac{am}p

est un entier. En d'autres termes :

N\equiv0\pmod{b^k-1}.

Maintenant, découpons a1a2a en h blocs de taille k, et notons Ni les entiers représentés en base b par ces blocs :

N_{h-1}=[a_1\dots a_k]_b,\quad N_{h-2}=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_b,\quad\ldots,\quad N_0=[a_{l-k+1}\dots a_l]_b.

Alors, modulo bk − 1 :

\sum_{i=0}^{h-1}N_i=\sum_{i=0}^{h-1}N_i1^i\equiv\sum_{i=0}^{h-1}N_i(b^k)^i=N\equiv0,

ce qui conclut.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Midy's theorem » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) « Etienne Midy (c. 1773 - fl. 1846) », sur numericana ; « QDM 27: Cherchez Midy à quatorze heures! », sur les-mathematiques.net.
  2. Pour un historique de ce théorème, voir (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. 1, 1919 (notes 19 p. 161 et 27 p. 163) et (en) Maurice Shrader-Frechette, « Complementary rational numbers », Mathematics Magazine, vol. 51, no 2,‎ , p. 90-98 (DOI 10.2307/2690144) (p. 96-98). C'est Henry Goodwyn qui a observé cette propriété dans (en) « Curious properties of prime numbers, taken as the divisors of unity », Journal Nat. Phil. Chem. Arts (en) (Nicholson's Journal), new series, vol. 1,‎ , p. 314-316 (lire en ligne), puis Midy qui l'a démontrée dans E. Midy, De quelques propriétés des nombres et des fractions décimales périodiques, Nantes,‎ , 21 p.. La note dans le Nicholson's Journal est simplement attribuée à « un correspondant », mais due à Goodwyn, d'après Dickson et (en) Scott B. Guthery, A Motif of Mathematics, Docent Press,‎ (lire en ligne), p. 89 et 232. Selon Lewittes 2007, qui a réussi à trouver la publication de Midy (sur microfilm à la New York Public Library) et a été inspiré par sa richesse, les seuls auteurs qui la mentionnent n'en ont lu que ce qu'écrit Dickson.
  3. (en) Bassam Abdul-Baki, Extended Midy's Theorem, 2005.
  4. a, b, c et d (en) Joseph Lewittes, « Midy's theorem for periodic decimals », Integers, vol. 7, no 1,‎ , Paper A02 (arXiv math.NT/0605182, lire en ligne).
  5. (en) W. G. Leavitt, « A theorem on repeating decimals », American Mathematical Monthly, vol. 74, no 6,‎ , p. 669-673 (JSTOR 2314251, lire en ligne). — Dans ce journal à large public, Leavitt présente ce théorème comme une jolie application de la notion d'ordre d'un élément d'un groupe. La conclusion contient des corollaires destinés à inciter le lecteur à s'intéresser au critère d'Euler, à la loi de réciprocité quadratique et aux nombres de Fermat.
  6. (en) W. G. Leavitt, « Repeating decimals », The College Mathematics Journal, MAA, vol. 15, no 4,‎ , p. 299-308 (JSTOR 2686394).