Ordre multiplicatif

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En mathématiques et plus précisément en arithmétique modulaire, l'ordre multiplicatif, modulo un entier naturel n, d'un entier relatif a premier à n, est le plus petit entier k > 0 tel que ak ≡ 1 (modulo n).

L'ordre de a modulo n est écrit généralement ordn a, ou On(a).

Par exemple, pour déterminer l'ordre multiplicatif de 4 modulo 7, nous calculons 42 = 16 ≡ 2 (modulo 7), donc 43 ≡ 4×2 = 8 ≡ 1 (modulo 7), donc ord7(4) = 3.

De façon équivalente, l'ordre multiplicatif de a modulo n est l'ordre du résidu de a modulo n, dans le groupe multiplicatif U(n) des unités de l'anneau ℤ/n. Les éléments de ce groupe sont les résidus modulo n des nombres premiers à n, et il y en a φ(n), φ étant la fonction indicatrice d'Euler.

D'après le théorème de Lagrange, ordna divise donc φ(n) – c'est le théorème d'Euler – et lui est égal si et seulement si le groupe U(n) est cyclique et engendré par le résidu de a. Ce résidu est alors appelé une racine primitive modulo n.

Il existe des racines primitives modulo n si et seulement si U(n) est cyclique, et dans ce cas, il en existe φ(φ(n)). Par exemple, si p est un nombre premier, U(p) est cyclique d'ordre φ(p) = p – 1, donc il existe φ(p – 1) racines primitives modulo p.


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Multiplicative order » (voir la liste des auteurs).