Nombre cyclique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Cyclic number 142857.svg

Un nombre cyclique, ou nombre phénix, est un entier dont les permutations circulaires des chiffres correspondent aux multiples du nombre. Le plus connu est 142857 :

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Cas spéciaux[modifier | modifier le code]

Si les zéros ne sont pas permis au début des nombres, alors 142857 est le seul nombre cyclique décimal. Par contre, s'ils sont permis, la séquence des nombres cycliques commence comme suit :

142857 (6 chiffres)
0588235294117647 (16 chiffres)
052631578947368421 (18 chiffres)

Pour être cyclique, seuls les multiples successifs du nombre doivent être considérés et ceux-ci doivent correspondre à des permutations circulaires du nombre. Ainsi, le nombre 076923 n'est pas considéré comme cyclique, même si toutes ses permutations circulaires sont des multiples, car ceux-ci ne sont pas successifs :

076923 × 1 = 076923
076923 × 3 = 230769
076923 × 4 = 307692
076923 × 9 = 692307
076923 × 10 = 769230
076923 × 12 = 923076

Cette restriction exclut aussi des cas triviaux tels :

  1. chiffres répétés, par exemple : 555
  2. nombres cycliques répétés, par exemple : 142857142857
  3. chiffres uniques précédés de zéros, par exemple : "005"

Les chiffres uniques peuvent être considérés comme des nombres cycliques triviaux ou dégénérés.

Relation avec les décimales récurrentes[modifier | modifier le code]

Les nombres cycliques sont liés aux décimales récurrentes des fractions unitaires. En général, pour un nombre cyclique de longueur L, le développement décimal de

1/(L + 1)

a une période de L, et répète le nombre cyclique.

Par exemple :

1/7 = 0.142857142857…

Les multiples de ces fractions présentent des permutations circulaires :

1/7 = 0.142857142857…
2/7 = 0.285714285714…
3/7 = 0.428571428571…
4/7 = 0.571428571428…
5/7 = 0.714285714285…
6/7 = 0.857142857142…

En contrepartie, si la période du développement décimal de 1/p est

p − 1,

alors les chiffres répètent un nombre cyclique.

Formes de nombres cycliques[modifier | modifier le code]

En s'appuyant sur leur relation aux fractions unitaires, on démontre que les nombres cycliques sont de la forme

\frac{b^{p-1}-1}{p}

b est la base (10 dans le cas du système décimal) et p est un nombre premier ne divisant pas b. Les nombres premiers p qui génèrent des nombre cycliques sont appelés nombres premiers longs.

Par exemple, le cas b = 10, p = 7 donne le nombre cyclique 142857.

Toutes les valeurs de p ne généreront pas forcément un nombre cyclique selon cette formule; par exemple p = 13 donne 076923076923. Ces cas erronés contiendront toujours une ou plusieurs répétition de chiffres.

Les premières valeurs de p pour lesquels cette formule produit un nombre cyclique en notation décimale sont (séquence A001913 dans l'OEIS) :

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 …

Le patron de cette séquence est issu de la théorie algébrique des nombres. Plus spécifiquement, cette séquence est définie comme l'ensemble des nombres premiers p tels que 10 est une racine primitive modulo p. Une conjecture d'Emil Artin [1] postule que cette séquence contiendrait 37.395..% des nombres premiers.

Construction des nombres cycliques[modifier | modifier le code]

Les nombres cycliques peuvent être construits par l'algorithme suivant :

Soit b la base (10 en base décimale).
Soit p un nombre premier ne divisant pas b.
Soit t = 0.
Soit r = 1.
Soit n = 0.
Répéter ce qui suit :

Soit t = t + 1
Soit x = r · b
Soit d = int(x / p)
Soit r = x mod p
Soit n = n · b + d
Si r ≠ 1, répéter.

Si t = p − 1 alors n est un nombre cyclique.

Cette procédure fonctionne en calculant les décimales de 1/p en base b, par division longue. r est le reste à chaque étape et d est la décimale produite.

L'étape

n = n · b + d

sert uniquement à colliger les chiffres. Pour les ordinateurs incapables d'opérer sur des nombres entiers très grands, les chiffres doivent être exprimés ou conservés autrement.

Il est notable que si t excède p/2, le nombre est forcément cyclique, sans besoin de calculer les chiffres restants.

Propriétés d'un nombre cyclique[modifier | modifier le code]

  • Le produit d'un nombre cyclique avec le nombre premier ayant servi à le générer consiste en une séquence de chiffres 9. 142857 × 7 = 999999.
  • L'addition de l'entier correspondant à la première moitié des chiffres d'un nombre cyclique à l'entier correspondant à la seconde moitié de ceux-ci consiste en une séquence de chiffres 9. 142 + 857 = 999.
  • Un nombre cyclique est un nombre parasite.
  • Un nombre cyclique tronqué après ses n premiers chiffres (non tous nuls) est une approximation par défaut de la fraction 10n/p. Si r est le reste entier de cette division, alors le nombre cyclique peut être produit en commençant par ses n premiers chiffres, puis en additionnant le r × le nombre précédemment additionné et décalé de n rangs vers la droite :

Exemple : pour p=7, le nombre cyclique est 142857142857...
- avec n=1 : 10 = 7 × 1 + 3 (1 = premier chiffre du nombre cyclique, reste r = 3)
- avec n=2 : 100 = 7 × 14 + 2 (14 = 2 premiers chiffres du nombre cyclique, reste r = 2)
- avec n=3 : 1000 = 7 × 142 + 6 (142 = 3 premiers chiffres du nombre cyclique, reste r = 6)
- ...
et on peut écrire :

 n=1                   n=2                          n=3  
 1    x3               14          x2               142                x6 
  3    |                 28         |                  852              |
   9   v                   56       v                    5112           v
   27                       112                            30672
    81                        224                            184032
    243                         448                            1104192
 +   729               +          896               +             6625152
---------             ----------------             -----------------------         
 1428...               14285714285...               1428571428571428...

Autres bases[modifier | modifier le code]

En utilisant la technique décrite plus haut, on peut trouver les nombres cycliques d'autres bases arithmétiques.

En base binaire :

Chiffres Nombre cyclique
2 01
4 0 011
10 0 001 011 101
12 000 100 111 011
18 000 011 010 111 100 101

En base ternaire :

Chiffres Nombre cyclique
4 0 121
6 010 212
16 0 011 202 122 110 201
18 001 102 100 221 120 122
28 0 002 210 102 011 122 200 121 202 111

En base octale :

Chiffres Nombre cyclique
2 25
4 1 463
10 0 564 272 135
28 0 215 173 454 106 475 626 043 236 713
52 0 115 220 717 545 336 140 465 103 476 625 570 602 324 416 373 126 743

En base duodécimale :

Chiffres Nombre cyclique
4 2 497
6 186 A35
16 0 857 921 4B3 642 9A7
30 047 8AA 093 598 166 B74 311 B28 623 A55
40 0 361 90A 653 277 397 A9B 4B8 5A2 B15 689 448 241 207

En base 24 (notation en utilisant les lettres de A à N) :

Chiffres Nombre cyclique
6 3A6 KDH
10 2 48H ALJ F6D
12 1K7 95C M3G EIB
16 1 9L4 5FC GME 2JI 8B7
30 0ID MAK 327 HJ8 C96 N5A 1D3 KLG 64F BEH

Noter qu'en notation ternaire (b = 3), le cas p = 2 génère 1 comme nombre cyclique. Bien que les chiffres uniques puissent être considérés des cas triviaux, il peut être utile, pour la complétude de la théorie, de les considérer, mais uniquement lorsqu'ils sont générés de cette façon.

On peut démontrer qu'aucun nombre cyclique (autre que les chiffres uniques triviaux) d'aucune base arithmétique n'est un carré parfait ; ainsi il n'y a aucun nombre cyclique en base hexadécimale.

Liste des nombres cycliques[modifier | modifier le code]

Ne commençant pas par zéro[modifier | modifier le code]

Liste exhaustive de nombres cycliques ne commençant pas par zéro jusqu'à la base 36.

Longueur Nombre cyclique Base
2 13 5
2 25 8
2 37 11
2 49 14
2 5B 17
2 6D 20
2 7F 23
2 8H 26
2 9J 29
2 AL 32
2 BN 35
4 1 254 7
4 1 463 8
4 2 497 12
4 2 7A5 13
4 3 6DA 17
4 3 AE7 18
4 4 8HD 22
4 4 DI9 23
4 5 ALG 27
4 5 GMB 28
4 6 CPJ 32
4 6 JQD 33
6 142 857 10
6 186 A35 12
6 274 E9C 17
6 2DA G58 19
6 3A6 KDH 24
6 3IE M7B 26
6 4D8 QHM 31
6 4NI S9E 33
10 1 249 5BA 837 13
10 1 94A DF7 C63 17
10 1 B83 4G6 9ED 18
10 1 DFA 6H5 38C 19
10 2 48H ALJ F6D 24
10 2 F7H MPC KA5 28
10 2 ID5 7QA FNL 29
10 2 LOG AR8 5DJ 30
10 3 6CP FVS M9J 35
12 124 936 DCA 5B8 15
12 18E BD2 HA4 75G 19
12 1AF 7DG I94 C63 20
12 1K7 95C M3G EIB 24
12 248 H6C PNJ ALF 28
12 2EO JM4 TH7 C9R 32
12 2HP CMR UF7 KA5 33
16 1 3AB F5H CIG 984 E27 20
16 1 6A7 GI2 CKF BE5 3J9 22
16 1 82G 59A ILE K6H DC4 23
16 1 9L4 5FC GME 2JI 8B7 24
16 1 FNM 69E 7PB 34K HCJ 27
16 1 I38 6GD 4Q9 OJL BEN 28
16 1 KDI M53 BR8 FA6 NPH 29
16 1 PGC NLR AT5 EI7 93K 31
18 124 8HE 7F9 JIG C36 D5B 21
18 13A 95H 826 KIB CG4 DJF 22
18 1F7 I94 GMP RDL AJO C63 29
18 1LS K6N IGQ UA3 BP8 DF5 32
18 1OA DTH C56 V8M J3F KRQ 33
18 1QS LG3 JN8 W75 CHU EAP 34
22 1 62C 4O9 KJD AQL PFN 3I7 8EH 28
22 1 93R BM5 6FJ GSK Q2I 7ON EAD 30
22 1 EBF PR8 K2S MVI LH7 5OC U4A 33
22 1 G8T J7D ABS 2WH P4E QKN M5V 34
28 1 248 H36 CPK 9J7 ETS QMD ROI 5AL BNG 31
28 1 39T PC4 D7N 5GH KUS M26 JRI O8Q FEB 32
30 139 TKS HIL VRE 8QA WUO 4D5 GFC 26J P7N 34

Pouvant commencer par zéro[modifier | modifier le code]

Liste exhaustive de nombres cycliques jusqu'à 16 chiffres et jusqu'à la base 36.

Longueur Nombre cyclique Base
2 01 2
2 13 5
2 25 8
2 37 11
2 49 14
2 5B 17
2 6D 20
2 7F 23
2 8H 26
2 9J 29
2 AL 32
2 BN 35
4 0 011 2
4 0 121 3
4 1 254 7
4 1 463 8
4 2 497 12
4 2 7A5 13
4 3 6DA 17
4 3 AE7 18
4 4 8HD 22
4 4 DI9 23
4 5 ALG 27
4 5 GMB 28
4 6 CPJ 32
4 6 JQD 33
6 010 212 3
6 032 412 5
6 142 857 10
6 186 A35 12
6 274 E9C 17
6 2DA G58 19
6 3A6 KDH 24
6 3IE M7B 26
6 4D8 QHM 31
6 4NI S9E 33
10 0 001 011 101 2
10 0 313 452 421 6
10 0 431 162 355 7
10 0 564 272 135 8
10 1 249 5BA 837 13
10 1 94A DF7 C63 17
10 1 B83 4G6 9ED 18
10 1 DFA 6H5 38C 19
10 2 48H ALJ F6D 24
10 2 F7H MPC KA5 28
10 2 ID5 7QA FNL 29
10 2 LOG AR8 5DJ 30
10 3 6CP FVS M9J 35
12 000 100 111 011 2
12 024 340 531 215 6
12 035 245 631 421 7
12 093 425 A17 685 11
12 124 936 DCA 5B8 15
12 18E BD2 HA4 75G 19
12 1AF 7DG I94 C63 20
12 1K7 95C M3G EIB 24
12 248 H6C PNJ ALF 28
12 2EO JM4 TH7 C9R 32
12 2HP CMR UF7 KA5 33
16 0 011 202 122 110 201 3
16 0 121 340 243 231 042 5
16 0 204 122 453 514 331 6
16 0 261 143 464 055 232 7
16 0 588 235 294 117 647 10
16 0 713 265 1A3 978 459 11
16 0 857 921 4B3 642 9A7 12
16 0 B75 A9C 4D2 683 419 14
16 1 3AB F5H CIG 984 E27 20
16 1 6A7 GI2 CKF BE5 3J9 22
16 1 82G 59A ILE K6H DC4 23
16 1 9L4 5FC GME 2JI 8B7 24
16 1 FNM 69E 7PB 34K HCJ 27
16 1 I38 6GD 4Q9 OJL BEN 28
16 1 KDI M53 BR8 FA6 NPH 29
16 1 PGC NLR AT5 EI7 93K 31

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Gardner, Martin, Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American, New York: The Mathematical Association of America, 1979. pp. 111-122.
  • Kalman, Dan, Fractions with Cycling Digit Patterns, The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (Mar., 1996), pp. 109-115.
  • Leslie, John, The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of .... Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820.
  • Wells, David, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, Penguin Press, ISBN 0-14-008029-5

Source[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]