Ensembles disjoints

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En mathématiques, deux ensembles sont dits disjoints s'ils n'ont pas d'éléments en commun. Par exemple, \{1,2,3\} et \{4,5,6\} sont deux ensembles disjoints.

Explication[modifier | modifier le code]

De manière formelle, deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide, c'est-à-dire si

A\cap B = \varnothing~.

(Dans le cas contraire, on dit que A et B « se rencontrent ».)

Cette définition s'étend à une famille d'ensembles. Les ensembles d'une famille sont dits disjoints deux à deux ou mutuellement disjoints si deux ensembles quelconques de cette famille sont disjoints.

Plus précisément, soient I~ un ensemble d'indices, et pour chaque i \in I, un ensemble A_i. Alors les ensembles de la famille (A_i)_{i\in I} sont mutuellement disjoints si

\forall (i,j)\in I^2\qquad(\ i \neq j\Rightarrow \ A_i \cap A_j = \varnothing)~.

Par exemple, les singletons de la famille (\{1\},\{2\},\{3\}) sont mutuellement disjoints.

Si (A_i)_{i\in I} est une famille d'ensembles mutuellement disjoints, et s'il y a au moins deux indices dans I, alors l'intersection de la famille est vide :

\cap_{i\in I}A_i=\varnothing~.

Cependant, la réciproque est fausse : l'intersection de la famille (\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\}) est vide, mais ces trois ensembles ne sont pas mutuellement disjoints.

Une partition d'un ensemble X est une famille (A_i)_{i\in I} de sous-ensembles de X non vides, mutuellement disjoints et tels que :

\bigcup_{i\in I} A_i = X~.

Voir aussi[modifier | modifier le code]