Densité asymptotique

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, la densité asymptotique (ou densité naturelle, ou densité arithmétique) est une façon de mesurer la « taille » de certains sous-ensembles d'entiers naturels. La densité d'un ensemble A peut être vue comme la probabilité qu'un entier tiré au hasard[1] appartienne à A ; son étude fait partie de la théorie analytique des nombres.

Définitions[modifier | modifier le code]

Un ensemble A d'entiers positifs est de densité asymptotique α (avec 0 ≤ α ≤ 1) si la proportion des éléments de A parmi les entiers de 1 à n se rapproche asymptotiquement de α quand n tend vers l'infini.

Plus rigoureusement, notant a(n) le nombre d'éléments de A inférieurs ou égaux à n, la densité asymptotique de A, d(A), est définie par[2]

 d(A)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n}\ (si cette limite existe).

Densités inférieure et supérieure[modifier | modifier le code]

Avec les mêmes notations, on définit la densité supérieure asymptotique (ou simplement la densité supérieure) de A, d(A), par

 \overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n} ,

où lim sup est la limite supérieure.

De même, la densité inférieure de A, d(A), est définie par

 \underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ a(n) }{n} , où lim inf est la limite inférieure.

A a une densité asymptotique d(A) si les densités inférieure et supérieure coïncident, et alors d(A) = d(A) = d(A)[3].

Densité de Banach[modifier | modifier le code]

Une notion de densité un peu plus faible est la densité de Banach ; étant donné A \subseteq \mathbb{N}, elle est définie par

 d^*(A) = \limsup_{N-M \rightarrow \infty} \frac{| A \bigcap \{M, M+1, \ldots, N\}|}{N-M+1} .

Densité de Schnirelmann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Densité de Schnirelmann.

La densité de Schnirelmann de A est définie comme la borne inférieure de la suite a(n)/n ; bien qu'elle soit très sensible aux petits entiers de A (et est par exemple nulle si A ne contient pas 1), elle possède des propriétés intéressantes qui la rendent plus utile que la densité asymptotique en théorie additive des nombres.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Si la densité existe pour A, elle existe aussi pour le complémentaire Ac de A dans ℕ, et l'on a d(Ac) = 1 − d(A).
  • d(ℕ) = 1.
  • Pour tout sous-ensemble d'entiers fini F, d(F) = 0.
  • Si A, B et AB possèdent une densité, alors max(d(A), d(B)) ≤ d(AB) ≤ min(d(A) + d(B), 1)
  • L'ensemble A=\{n^2\mid n\in\N\} des carrés parfaits est de densité nulle ; il en est de même de l'ensemble P des nombres premiers (voir Théorème de la raréfaction des nombres premiers).
  • L'ensemble A=\{2n\mid n\in\N\} des nombres pairs a pour densité d(A) = 1/2. Plus généralement, pour toute progression arithmétique A=\{an+b\mid n\in\N\}, on a d(A) = 1/a.
  • L'ensemble des entiers sans facteur carré a pour densité 6/π2 (voir Théorème de Cesàro).
  • L'ensemble des nombres abondants possède une densité[4], comprise entre 0,2474 et 0,2480[5].
  • L'ensemble A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty \{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\} des nombres dont la représentation binaire contient un nombre impair de chiffres est un exemple d'ensemble sans densité asymptotique, car la densité supérieure est\overline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}\ = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}
\ =\frac23alors que la densité inférieure est\underline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}
\ = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}
\ = \frac 13.
  • Si (\alpha_n)_{n\in\N} est une suite équidistribuée (en) de [0, 1] et si (A_x)_{x\in[0,1]} est la famille d'ensemblesA_x:=\{n\in\N\mid\alpha_n<x\}alors, par définition, d(Ax) = x pour tout x.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. En toute rigueur, il n'est pas possible de définir une telle notion en respectant les axiomes de la théorie de la mesure ; la densité en est une approche (par passage à la limite de probabilités dans le cas fini).
  2. Nathanson 2000, p. 256-257.
  3. (en) Asymptotic density de PlanetMath.
  4. (de) H. Davenport, « Über numeri abundantes », Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsber., vol. 27,‎ 1933, p. 830-837.
  5. (en) Marc Deléglise, « Bounds for the density of abundant integers », Experimental Mathematics, vol. 7, no 2,‎ 1998, p. 137-143 (lire en ligne).

Références[modifier | modifier le code]