Constante de Khintchine

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Graphe des suites associées à quelques constantes (rouge : π, bleu : γ, vert : 32), qui semblent tendre vers cette constante.

En théorie des nombres, la constante de Khintchine est la limite, pour presque tout nombre irrationnel, de la moyenne géométrique des premiers quotients partiels du développement en fraction continue de ce nombre. C'est un résultat démontré par Alexandre Khintchine[1].

On a donc, pour presque tout  :

[2].

Parmi les irrationnels qui n'ont pas cette propriété se trouvent par exemple la racine carrée de 2, celle de 3, le nombre d'or[N 1] et le nombre e[N 2].

Parmi les irrationnels qui semblent avoir cette propriété (d'après des études numériques), figurent les nombres π, γ, et la constante de Khintchine elle-même[réf. nécessaire] (si tant est que ces deux dernières soient irrationnelles, ce qu'on ignore). Néanmoins, ces énoncés ne sont pas démontrés.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Khinchin's constant » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. En effet, pour un irrationnel quadratique, le développement en fraction continue est périodique de longueur à partir d'un certain rang, et donc la moyenne géométrique de ses coefficients est égale à la moyenne géométrique des T coefficients, qui, dans ces trois cas, n'est pas égale à la constante de Khintchine : , , , et .
  2. En effet, le développement en fraction continue de e est donc d'après la formule de Stirling, la moyenne géométrique de ses premiers coefficients est équivalente à , qui tend vers +∞.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) A. Ya. Khintchin, Continued Fractions, Dover Publications, , 3e éd., 95 p. (ISBN 978-0-486-69630-0, lire en ligne), p. 93.
  2. Suite OEISA002210 de l'OEIS.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Constante de Lévy