Constante de Khintchine

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En théorie des nombres, la constante de Khintchine est la valeur de la moyenne géométrique que prennent l'infinité des dénominateurs du développement de la fraction continue d'un nombre réel, qui est identique pour presque tous les nombres irrationnels. C'est un résultat démontré par Alexandre Khintchine[1].

Il est donc presque toujours vrai que, pour

on a[2] :

Parmi les nombres x dont le développement n'a pas cette propriété se trouvent les nombres rationnels[N 1], les irrationnels quadratiques, c'est-à-dire les solutions des équations quadratiques à coefficients rationnels (incluant le nombre d'or)[N 2], et le nombre e[N 3].

Parmi les nombres dont le développement en fraction continue semble avoir cette propriété (d'après des études numériques), figurent les nombres π, γ, et la constante de Khintchine elle-même. Néanmoins, ces énoncés ne sont pas démontrés. En effet, bien que presque tous les nombres réels possèdent cette propriété, elle n'a été démontrée pour aucun nombre réel particulier.

On ne sait pas si la constante de Khintchine est irrationnelle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Khinchin's constant » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. En effet le développement en fraction continu est fini, la suite des coefficients est donc stationnaire égale à 0 et la moyenne géométrique des coefficients est donc nulle.
  2. En effet le développement en fraction continue est périodique de longueur à partir d'un certain rang, et donc la moyenne géométrique de ses coefficients est égal à la moyenne géométrique des coefficients, qui n'a aucune raison d'être égale à la constante de Khintchine.
  3. En effet le développement en fraction continue de e est donc par croissance comparé de l'exponentielle et de la factorielle, la moyenne géométrique de ses coefficients diverge et ne peut donc pas converger vers la constante de Khintchine.

Références[modifier | modifier le code]

  1. A. Khintchine, Continued fractions, Dover Publications, , 3e éd. (ISBN 978-0-48669630-0, lire en ligne).
  2. Suite A002210 de l'OEIS.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Constante de Lévy