Moyenne généralisée

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En mathématiques, les moyennes généralisées sont une famille de fonctions permettant de caractériser un ensemble de nombres, comptant parmi elles les cas particuliers des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique. On peut également parler de moyenne puissance, de moyenne d'ordre p ou de moyenne de Hölder, d'après Otto Hölder.

Définitions[modifier | modifier le code]

Moyenne d'ordre p[modifier | modifier le code]

Soit p un nombre réel non nul. On définit la moyenne d'ordre p des réels non nuls comme :

Pour p = 0, on la pose comme étant la moyenne géométrique (ce qui correspond au cas limite des moyennes d'ordres approchant de 0) :

.

Les exposants infinis positif et négatif correspondent respectivement au maximum et au minimum, dans les cas classique et pondéré (ce qui correspond également au cas limite des moyennes d'ordres approchant de l'infini) :

Versions pondérées[modifier | modifier le code]

On peut également définir les moyennes pondérées d'ordre p pour une suite de poids positifs wi vérifiant avec

Le cas classique correspond à l'équirépartition des poids : wi = 1/n.

Propriétés élémentaires et remarques[modifier | modifier le code]

  • On remarquera la similarité avec les normes d'ordre p.
  • Comme la plupart des moyennes, la moyenne généralisée est une fonction homogène en x1, ..., xn. Ainsi, si b est un réel positif, la moyenne généralisée d'ordre p des nombres est égale à b multiplié par la moyenne généralisée des x1, …, xn.
  • Comme les moyennes quasi-arithmétiques (en), le calcul de la moyenne peut être séparé en sous-blocs de même taille.
.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Une visualisation des moyennes dans le cas n=2.
minimum
moyenne harmonique
moyenne géométrique
moyenne arithmétique
moyenne quadratique
maximum

Inégalité des moyennes généralisées[modifier | modifier le code]

Énoncé[modifier | modifier le code]

En général, on a

si p < q, alors

et il y a égalité si et seulement si x1 = x2 = ... = xn.

L'inégalité est vraie pour les valeurs réelles de p et q, ainsi que pour les infinis positif et négatif.

On en déduit que pour tout réel p,

ce qui peut être montré en utilisant l'inégalité de Jensen.

En particulier, pour p dans {−1, 0, 1}, l'inégalité des moyennes généralisées implique une inégalité sur les moyennes pythagoriciennes (en) ainsi que l'inégalité arithmético-géométrique.

Preuve[modifier | modifier le code]

On travaillera ici sur les moyennes généralisées pondérées, et on supposera :

La preuve sur les moyennes généralisées s'obtiendra en prenant wi = 1/n.

Équivalence des inégalités entre les moyennes de signes opposés[modifier | modifier le code]

Supposons qu'une inégalité entre les moyennes généralisées d'ordre p et q est vraie :

Alors en particulier :

On prend l'inverse des nombres, ce qui change le sens de l'inégalité car les xi sont positifs :

ce qui donne le résultat pour les moyennes généralisées d'ordre −p et −q. On peut faire le calcul réciproque, montrant ainsi l'équivalence des inégalités, ce qui sera utile par la suite.

Moyenne géométrique[modifier | modifier le code]

Pour tout q > 0, on a

Inégalité entre deux moyennes pondérées[modifier | modifier le code]

Il reste à prouver que si p < q, alors on a :

Si p est négatif et q positif, on peut utiliser le résultat précédent :

Supposons maintenant p et q positifs. On définit la fonction f : R+R+ . f est une fonction puissance, deux fois dérivable :

qui est positive sur le domaine de définition de f, car q > p, ainsi f est convexe.

Par l'inégalité de Jensen, on a :

soit:

ce qui, une fois élevé à la puissance 1/q (fonction croissante, car 1/q est positif), on obtient le résultat voulu.

Le cas de p et q négatifs se tire de ce résultat, en les remplaçant respectivement par −q et −p.

Moyenne quasi-arithmétique[modifier | modifier le code]

La moyenne généralisée peut être vu comme des cas particuliers des moyennes quasi-arithmétiques (en) :

Par exemple, la moyenne géométrique s'obtient par f(x) = log(x), et la moyenne d'ordre p avec f(x) = xp.

Applications[modifier | modifier le code]

En traitement du signal[modifier | modifier le code]

Une moyenne généralisée sert de moyenne glissante non linéaire qui fait ressortir les petites valeurs pour p petit et amplifie les grandes valeurs pour p grand.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]