Théorème ergodique

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Dans les systèmes dynamiques, et en particulier en théorie ergodique, de nombreux théorèmes sont appelés théorèmes ergodiques. Ils permettent de quantifier au sens de la théorie de la mesure la densité des orbites d'un système dynamique mesuré.

Théorème ergodique de Birkhoff[modifier | modifier le code]

Soit :

  • un espace mesuré.
  • T : X→X une transformation mesurable.
  • μ une mesure finie T-invariante (c'est-à-dire que pour tout ensemble mesurable A de , on a ).

Alors :

  • Pour toute fonction de L1(X,μ), la suite converge μ-presque partout.
  • De plus, en notant (lorsqu'elle existe), , on a :
    • , -presque partout.
    • ( est donc dans ).
    • La suite de fonctions converge dans L1(X,μ) vers .
    • Pour tout ensemble mesurable A tel que , on a :.

Corollaire[modifier | modifier le code]

Avec les mêmes hypothèses et en supposant en plus que soit μ-ergodique, on a :

pour μ-presque tout .

Remarques[modifier | modifier le code]

  • La somme s'appelle une moyenne de Birkhoff de .
  • La limite lorsqu'elle existe s'appelle la moyenne orbitale (ou temporelle) de .
  • L'intégrale est la moyenne spatiale de .

Ainsi, le théorème dit que si est une mesure de probabilité pour laquelle est ergodique, presque toutes les moyennes temporelles d'une fonction intégrable coïncident avec sa moyenne spatiale.

Quelques applications simples[modifier | modifier le code]

Exemple 1

Soit B un ensemble mesurable non négligeable (μ(B)>0). Si T est μ-ergodique, alors pour presque tout de , on a :

La proportion de temps que l'orbite de x passe dans B est précisément μ(B)/μ(X).

Exemple 2

Pour presque tout réel de l'intervalle , le nombre moyen de zéros dans l'écriture décimale de (c'est-à-dire que est le chiffre des dixièmes de , le chiffre des centièmes de , etc.) est égale à .

Théorème ergodique de von Neumann[modifier | modifier le code]

Soient un opérateur unitaire sur un espace de Hilbert , ou plus généralement une isométrie linéaire (non nécessairement surjective) et la projection orthogonale sur le sous-espace des vecteurs fixes par . Alors, pour tout vecteur de , on a[1] :

où la limite est au sens de la topologie de la norme sur . Autrement dit, la suite des moyennes

converge vers pour la topologie forte des opérateurs (en).

Ce théorème s'applique en particulier au cas où l'espace de Hilbert est l'espace L2 d'un espace mesuré et où est un opérateur de la forme , pour un certain endomorphisme de qui préserve la mesure, et qui peut être vu comme le changement d'état d'un système dynamique à temps discret[2]. Le théorème ergodique dit alors que la moyenne d'une fonction sur un intervalle de temps assez grand est approchée par la projection orthogonale de sur les fonctions qui restent constantes au cours du temps.

Une autre formulation de ce théorème ergodique est que si est un groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs unitaires sur , alors l'opérateur

converge (pour la topologie forte des opérateurs) quand tend vers l'infini. En fait, ce résultat s'étend à un demi-groupe à un paramètre fortement continu d'opérateurs non expansifs sur un espace réflexif.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ergodic theory » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) M. Reed (en) et B. Simon (en), Functional Analysis, San Diego, Academic Press, 1980 (ISBN 978-0-12585050-6)
  2. (en) Peter Walters, An introduction to ergodic theory, Springer, New York, 1982 (ISBN 0-387-95152-0)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) George D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, Proc. NAS 17 (1931), 656-660