Fonction zêta de Hurwitz

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En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta.

Elle est définie, pour toute valeur q du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes s tels que Re(s) > 1 :

.

Par prolongement analytique, s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle s = 1.

est la fonction zêta de Riemann.

Représentation intégrale[modifier | modifier le code]

,

Γ désigne la fonction Gamma[1].

Prolongement analytique[modifier | modifier le code]

La fonction s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle s = 1, simple, avec un résidu égal à 1[2].

Développement de Laurent[modifier | modifier le code]

Son développement de Laurent en ce pôle est

où les coefficients

[3]

sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles correspondent à la fonction zêta de Riemann).

La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite[4] :

.

La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma[4] :

.

Formule de Hurwitz[modifier | modifier le code]

La formule de Hurwitz[3],[5] est le théorème suivant, valide pour 0 < q < 1 et Re(s) > 0, ainsi que pour q = 1 et Re(s) > 1 :

,

Lis étant la fonction polylogarithme.

Équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers

reste valable pour toutes les valeurs de s.

Développement en série de Taylor[modifier | modifier le code]

La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :

.

Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :

.

Transformation de Fourier[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.

Lien avec d'autres fonctions spéciales[modifier | modifier le code]

Relation avec les polynômes de Bernoulli[modifier | modifier le code]

Puisque, avec la notion F introduite ci-dessus, la série de Fourier des polynômes de Bernoulli est (pour et ) :

,

la formule de Hurwitz donne (pour 0 < x < 1 et ) :

[6].

Relation avec les fonctions L de Dirichlet[modifier | modifier le code]

En fixant un entier Q ≥ 1, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Q sont des combinaisons linéaires de ζ(s,q)q = k/Q et k = 1, 2, ..., Q.

Plus précisément, soit χ un caractère de Dirichlet mod Q. La fonction L de Dirichlet associée s'écrit :

.

Par inversion de Plancherel, on en déduit, pour toute fraction irréductible  :

,

la somme portant sur tous les caractères de Dirichlet mod Q.

Relation avec la fonction polygamma[modifier | modifier le code]

La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma :

.

Relation avec la fonction transcendante de Lerch[modifier | modifier le code]

La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :

et ainsi

.

Relation avec la fonction thêta de Jacobi[modifier | modifier le code]

Si est la fonction thêta de Jacobi, alors

reste valable pour Re s > 0 et z complexe non entier.

Pour z = n un entier, ceci se simplifie en

ζ est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction selon l'intégralité de z rend compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la fonction δ de Dirac pour z lorsque t → 0.

Applications[modifier | modifier le code]

La fonction zêta de Hurwitz apparaît principalement en théorie des nombres, mais aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la loi de Zipf-Mandelbrot (en).

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Hurwitz zeta function » (voir la liste des auteurs) et « Stieltjes constants » (voir la liste des auteurs).
  1. Voir par exemple cet exercice corrigé sur la Wikiversité.
  2. Voir par exemple Apostol 1976, p. 255, ou cet exercice corrigé sur la Wikiversité.
  3. a et b (en) Bruce C. Berndt, « On the Hurwitz zeta-function », Rocky Mountain J. Math., vol. 2, no 1,‎ , p. 151-158 (lire en ligne).
  4. a et b (en) Iaroslav V. Blagouchine, « A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations », J. Number Theory, vol. 148,‎ , p. 537-592 (arXiv 1401.3724) .
  5. Apostol 1976, p. 257-259.
  6. Voir par exemple Apostol 1976, p. 264, ou cet exercice corrigé sur la Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Hurwitz Zeta Function », MathWorld