Fonction zêta de Hurwitz

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En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta.

Elle est définie, pour toute valeur q du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes s tels que Re(s) > 1 :

.

Par prolongement analytique, s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle s = 1.

est la fonction zêta de Riemann.

Représentation intégrale[modifier | modifier le code]

,

Γ désigne la fonction Gamma[1].

Prolongement analytique[modifier | modifier le code]

La fonction s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle s = 1, simple, avec un résidu égal à 1[2].

Développement de Laurent[modifier | modifier le code]

Son développement de Laurent en ce pôle est

où les coefficients

[3]

sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles correspondent à la fonction zêta de Riemann).

La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite[4] :

.

La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma[4] :

.

Formule de Hurwitz[modifier | modifier le code]

La formule de Hurwitz[3],[5] est le théorème suivant, valide pour 0 < q < 1 et Re(s) > 0, ainsi que pour q = 1 et Re(s) > 1 :

,

Lis étant la fonction polylogarithme.

Équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers

reste valable pour toutes les valeurs de s.

Développement en série de Taylor[modifier | modifier le code]

La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer :

.

Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit :

.

Transformation de Fourier[modifier | modifier le code]

La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.

Lien avec d'autres fonctions spéciales[modifier | modifier le code]

Relation avec les polynômes de Bernoulli[modifier | modifier le code]

Puisque, avec la notion F introduite ci-dessus, la série de Fourier des polynômes de Bernoulli est (pour et ) :

,

la formule de Hurwitz donne (pour 0 < x < 1 et ) :

[6].

Relation avec les fonctions L de Dirichlet[modifier | modifier le code]

En fixant un entier Q ≥ 1, les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo Q sont des combinaisons linéaires de ζ(s,q)q = k/Q et k = 1, 2, ..., Q.

Plus précisément, soit χ un caractère de Dirichlet mod Q. La fonction L de Dirichlet associée s'écrit :

.

Par inversion de Plancherel, on en déduit, pour toute fraction irréductible  :

,

la somme portant sur tous les caractères de Dirichlet mod Q.

Relation avec la fonction polygamma[modifier | modifier le code]

La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma :

.

Relation avec la fonction transcendante de Lerch[modifier | modifier le code]

La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :

et ainsi

.

Relation avec la fonction thêta de Jacobi[modifier | modifier le code]

Si est la fonction thêta de Jacobi, alors

reste valable pour Re s > 0 et z complexe non entier.

Pour z = n un entier, ceci se simplifie en

ζ est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction selon l'intégralité de z rend compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la fonction δ de Dirac pour z lorsque t → 0.

Applications[modifier | modifier le code]

La fonction zêta de Hurwitz apparaît principalement en théorie des nombres, mais aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la loi de Zipf-Mandelbrot (en).

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Hurwitz zeta function » (voir la liste des auteurs) et « Stieltjes constants » (voir la liste des auteurs).
  1. Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  2. Voir par exemple Apostol 1976, p. 255, ou cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  3. a et b (en) Bruce C. Berndt, « On the Hurwitz zeta-function », Rocky Mountain J. Math., vol. 2, no 1,‎ , p. 151-158 (lire en ligne).
  4. a et b (en) Iaroslav V. Blagouchine, « A theorem for the closed-form evaluation of the first generalized Stieltjes constant at rational arguments and some related summations », J. Number Theory, vol. 148,‎ , p. 537-592 (arXiv 1401.3724) .
  5. Apostol 1976, p. 257-259.
  6. Voir par exemple Apostol 1976, p. 264, ou cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Hurwitz Zeta Function », sur MathWorld