Équation de la force vive

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En mécanique spatiale, l'équation de la force vive est une équation importante du mouvement de corps en orbite. C'est le résultat de la loi de conservation de l'énergie selon laquelle la somme des énergies cinétiques et potentielles est constante en tout point de l'orbite.

Équation de la force vive[modifier | modifier le code]

L'équation de la force vive[1] est définie par :

v^2 = G(m_1\!+\!m_2) \left({{ 2 \over{r}} - {1 \over{a}}}\right)

où :

Démonstration[modifier | modifier le code]

L'énergie orbitale totale est la somme des énergies potentielles partagées et de l'énergie cinétique des deux corps considérés

 E = \frac{-Gm_1 m_2}{r} + \frac{m_1 v_1^2 }{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}
  • v_1\,\! est la vitesse du corps 1 relative au centre de gravité des deux corps.
  • v_2\,\! est la vitesse du corps 2 relative au centre de gravité des deux corps.

L'énergie orbitale peut être calculée en utilisant seulement des quantités relatives

 E = \frac{- G_1 m_2}{r} + \mu \frac{v^2}{2}

Pour des orbites circulaire et elliptique, l'énergie totale est donnée de façon plus précise

 E = \frac{-G m_1 m_2}{2 a}.

La division du total de l'énergie par la masse réduite donne l'énergie vis-viva, mieux connue aujourd'hui comme l'énergie orbitale spécifique (en)

 \epsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{G(m_1\!+\!m_2)}{r} .

Pour les orbites circulaire et elliptique

 \epsilon = \frac{ -G(m_1\!+\!m_2)}{2 a} .

Des précédentes équations, on obtient l'équation de la force vive :

 v^2 = G(m_1\!+\!m_2) \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right).

Applications[modifier | modifier le code]

À partir de r et v en un point de l'orbite, il est possible de calculer r et v à n'importe quel autre point de l'orbite[2].

De même, à partir de r et v en un point de l'orbite, l'énergie orbitale spécifique \epsilon\,\! peut être calculée, ce qui permet de déterminer si un objet orbitant autour d'un autre plus gros a assez d'énergie pour rester en orbite.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) T. Logsdon, Orbital Mechanics: theory and applications, John Wiley & Sons, 1998
  2. Pour le problème des trois corps, la conservation de l'énergie ne réduit que de 1 le nombre, plus grand, de degrés de liberté.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Vis-viva equation » (voir la liste des auteurs)