Transformation binomiale

En mathématiques, dans le domaine de l'analyse combinatoire, la transformation binomiale est une suite d'opérations transformant une suite en une autre, en calculant les différences entre les termes consécutifs.

Cette transformation est en rapport avec la transformation d'Euler, qui est le résultat d'une transformation binomiale à une suite associée à une fonction génératrice usuelle. Un cas particulier de la transformation d'Euler est parfois utilisé pour accélérer la convergence de séries alternées (voir l'accélération des séries). Un autre cas particulier apparaît dans une application aux séries hypergéométriques.

Définition

La transformation binomiale, $T$, d'une suite, $(a_n)$, est la suite $(s_n)$ définie par

$s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k,$

où les ${n\choose k}$ désignent les coefficients binomiaux.

Formellement, nous pouvons écrire $(Ta)_n = s_n$ pour représenter la transformation, où $T$ est un opérateur en dimension infinie dont la matrice a pour coefficients $T_{nk}$ vérifiant:

$s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k$

avec $T_{nk} = (-1)^k {n\choose k}$. Cette transformation est une involution, c'est-à-dire

$T\circ T = {\rm Id} \,$

ou, en utilisant des notations indicielles:

$\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}$

où $\delta$ est le symbole de Kronecker. La suite de départ peut ainsi être retrouvée par

$a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k$

La transformation binomiale d'une suite est justement la $n$ème différence de la suite, et ainsi

$s_0 = a_0$

$s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0$

$s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0$

. . .

$s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0$

où Δ est l'opérateur de différence.

Certains auteurs définissent la transformation binomiale avec un signe additionnel, qui empêche la transformation d'être involutive:

$t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k$

dont la transformation réciproque est

$a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k$

Décalages

La transformation binomiale correspond à l'opérateur de décalage (en) pour la suite des nombres de Bell. c'est-à-dire:

$B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k$

où les $B_n$ représentent les nombres de Bell.

Fonctions génératrices ordinaires

La transformation relie les fonctions génératrices associées à des séries.

Pour des fonctions génératrices ordinaires

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$

et

$g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n$

on a

$g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{-x}{1-x}\right)$

Transformation d'Euler

La transformation correspondante reliant les fonctions génératrices ordinaires est appelée transformation d'Euler. Elle apparaît couramment sous une ou deux formes, l'une étant utilisée pour l'accélération de la convergence des séries alternées.

Cette forme intervient avec la relation:

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}}$

obtenue en remplacent $x=1/2$ dans la relation précédente. Les termes dans le membre de droite deviennent généralement petit, beaucoup plus vite, permettant ainsi un calcul numérique rapide de la somme.

La transformation d'Euler est aussi fréquemment appliquée aux séries hypergéométriques $\,_2F_1$. Dans ce cas, la transformation d'Euler prend la forme de:

$\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right)$

La transformation binomiale, et ses variantes comme la transformation d'Euler, est connue pour son utilisation avec les fractions continues représentant un nombre. Soit $0 < x < 1$ un réel ayant la représentation sous forme de fraction continue suivante:

$x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots]$

Alors

$\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]$

et

$\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots]$

Fonction génératrice exponentielle

Considérons des fonctions génératrices exponentielles,

$\overline{f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}$

et

$\overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}$

Alors

$\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x)$

La sommation de Borel convertit les fonctions génératrices ordinaires en fonctions génératrices exponentielles.

Représentation intégrale

Lorsque la suite peut être interpolée par une fonction analytique complexe, alors la transformation binomiale de la suite peut être représentée par la moyenne d'une intégrale de Nörlund-Rice sur la fonction d'interpolation.

Généralisations

Prodinger donna une transformation de type modulaire:

$u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k$

donne

$U(x) = \frac{1}{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)$

où U et B sont des fonctions génératrices ordinaires associées aux séries:

$\{u_n\}$ et $\{b_n\}$, respectivement.

La k-transformation binomiale montante est parfois définie par

$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^k a_j$

et la k-transformation binomiale descendante, par

$\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^{n-k} a_j$.

Les deux transformations sont des homomorphismes du noyau de la transformation de Hankel d'une série.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 3, 1973, Addison-Wesley, Reading, MA.
• (en) Helmut Prodinger, Some information about the Binomial transform, 1992
• (en) Michael Z. Spivey et Laura L. Steil, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform, 2006

Articles connexes

• Série de Newton (en)
• Transformée de Möbius
• Transformation de Stirling (en)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Binomial transform » (voir la liste des auteurs)