Moyenne de Riesz

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En mathématiques, les moyennes de Riesz sont certaines moyennes des termes d'une série. Elles ont été introduites par Marcel Riesz en 1911 comme une amélioration de la moyenne de Cesàro[1],[2]. Les moyennes de Riesz ne doivent pas être confondues avec celles de Bochner-Riesz (en) ni avec les moyennes fortes de Riesz.

Définition[modifier | modifier le code]

La moyenne de Riesz d'une série de terme général s_n est définie par :

s^\delta(\lambda) = 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n

et sa moyenne de Riesz généralisée est définie par :

R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k,

(\lambda_n)~ est une suite arbitraire telle que \lambda_n\to\infty et \lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1 quand n\to\infty.

Les moyennes de Riesz sont souvent utilisées pour explorer la sommabilité des séries ; les théorèmes de sommabilité usuels traitent du cas de S_n = \sum_{k=0}^n s_n. Typiquement, une série est sommable lorsque la limite \lim_{n\to\infty} R_n existe, ou la limite \lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda) existe, néanmoins, les théorèmes de sommabilité précis en question imposent souvent des conditions supplémentaires.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Soit s_n=1 quel que soit n. Alors

 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta
= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s~\mathrm ds
= \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}

Ici, on doit prendre c>1 ; \Gamma est la fonction gamma et \zeta est la fonction zêta de Riemann. On peut montrer que la série de puissances \sum_n b_n \lambda^{-n} converge pour \lambda>1. Remarquons que l'intégrale est de la forme d'une transformée de Mellin inverse.

Un autre cas intéressant relié à la théorie des nombres survient en prenant s_n=\Lambda(n)\Lambda(n) est la fonction de von Mangoldt. Alors

 
\sum_{n\le\lambda}\left(1-\frac n\lambda\right)^\delta\Lambda(n)
=-\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)}\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)}\lambda^s~\mathrm ds
=\frac{\lambda}{1+\delta}+\sum_\rho\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)}+\sum_nc_n\lambda^{-n}.

De nouveau, on doit prendre c>1. La somme sur \rho est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et \sum_nc_n\lambda^{-n} converge pour \lambda>1.

Les intégrales qui apparaissent ici sont similaires à l'intégrale de Nörlund-Rice (en) ; très grossièrement, elles peuvent être reliées à cette intégrale par la formule de Perron.

Références[modifier | modifier le code]

  1. M. Riesz, « Une méthode de sommation équivalente à la méthode des moyennes arithmétiques », dans CRAS, vol. 152, 1911, p. 1651-1654
  2. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196