Formule de Perron

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la somme d'une fonction arithmétique, au moyen d'une transformation de Mellin inverse.

Première formule de Perron[modifier | modifier le code]

  • Soient (a(n))n∈ℕ* une fonction arithmétique et
    A(x)={\sum_{n\le x}}^\star a(n),
    où l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être mulitiplié par 1/2 quand x est entier.
    Nous supposons que la série de Dirichlet classique
    f(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{a(n)}{n^s}
    admet une abscisse de convergence simple finie σc.
    Alors, la formule de Perron est[1] : pour tous réels c > max(0, σc) et x > 0,
    A(x)=\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}f(s)\frac{x^s}s~\mathrm ds,
    où l'intégrale est semi-convergente pour x non entier et converge en valeur principale pour x entier.
  • Pour une série de Dirichlet générale, de la forme
     f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n)e^{-\lambda_ns},
    on a de même[2],[3],[4] : pour tous réels c > max(0, σc) et y ∊ ]λn, λn + 1[,
    \sum_{k=1}^na(k)=\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}f(s)\frac{e^{sy}}s~\mathrm ds.

Deuxième formule de Perron[modifier | modifier le code]

Soit f(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}} pour \sigma>\sigma_ca_n= \mathcal{O}\left(\psi(n)\right), la fonction \psi(n) étant supposée croissante (au sens large).

On suppose de plus que \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|a(n)|}{n^{\sigma}} =\mathcal{O}\left(\frac1{(\sigma-\sigma_a)^\alpha}\right) quand \sigma \rightarrow \sigma_a.

Alors, si c>0, \sigma+c>\sigma_a, x un nombre non entier et en appelant N l'entier le plus proche de x, on a


\begin{align}
\sum_{n < x} \frac{a(n)}{n^{s}}&=\frac1{2i\pi}\int_{c-iT}^{c+iT}f(u+s)\frac{x^{u}}{u}\; du+\mathcal{O}\left(\frac{x^c}{T(\sigma+c-\sigma_a)^\alpha}\right)+ \mathcal{O}\left(\frac{\psi(2x)x^{\sigma_a-\sigma}\ln x}{T}\right)\\
&+ \mathcal{O}\left(\frac{\psi(N)x^{\sigma_a-\sigma}}{T(x-N)}\right)
\end{align}

Preuves[modifier | modifier le code]

  • Pour les deux formules, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus[1],[5].
    « Soit h(x) la fonction valant 0 sur l'intervalle [0,1[, 1 sur l'intervalle x > 1 (et 1/2 pour x =1). Alors, pour tous c, T, T' > 0 :
    \forall x\ne 1\quad\left|h(x)-\frac1{2i\pi}\int_{c-iT'}^{c+iT} \frac{x^u}u~\mathrm du\right|\le\frac{x^c}{2\pi |\ln x|}\left(\frac1{T}+\frac1{T'}\right),
    \left|h(1)-\frac1{2i\pi}\int_{c-iT}^{c+iT} \frac1u~\mathrm du\right|\le\frac c{T+c}. »
    Il reste ensuite à multiplier par a_n/n^s et sommer sur n.
  • Une preuve[1] de la première formule de Perron pour une série de Dirichlet classique consiste à appliquer d'abord ce lemme lorsque c est strictement supérieur à l'abscisse de convergence absolue σa de la série. Si on a seulement c > σc, alors c + 1 > σa et le théorème intégral de Cauchy permet de se ramener au cas précédent.
  • Pour une preuve analytique de la deuxième formule de Perron, on part du même lemme.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Perron's formula » (voir la liste des auteurs)

  1. a, b et c Gérald Tenenbaum, « Quelques lois de probabilité classiques en théorie des nombres »,‎ 2011/2012 ou (en) Gérald Tenenbaum, Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, CUP,‎ 1995 (ISBN 978-0-52141261-2, lire en ligne), p. 130-133, éd. en français : Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Paris, Belin, 2008
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Perron's Formula », MathWorld
  3. (en) Władysław Narkiewicz (de), The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood, Springer,‎ 2000 (lire en ligne), p. 196
  4. G. Valiron, « Théorie générale des séries de Dirichlet », Mémorial des sciences mathématiques, vol. 17,‎ 1926, p. 1-56 (lire en ligne), p. 9
  5. (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer,‎ 1976 (lire en ligne), p. 243-246