Formule de Perron

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la somme d'une fonction arithmétique, au moyen d'une transformation de Mellin inverse.

La formule de Perron[modifier | modifier le code]

  • Soient (a(n))n∈ℕ* une fonction arithmétique et
    A(x)={\sum_{n\le x}}^\star a(n),
    où l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être multiplié par 1/2 quand x est entier.
    Nous supposons que la série de Dirichlet classique
    f(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{a(n)}{n^s}
    admet une abscisse de convergence simple finie σc.
    Alors, la formule de Perron est[1] : pour tous réels c > max(0, σc) et x > 0,
    A(x)=\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}f(s)\frac{x^s}s~\mathrm ds,
    où l'intégrale est semi-convergente pour x non entier et converge en valeur principale pour x entier.
  • Pour une série de Dirichlet générale, de la forme
     f(s)=\sum_{n=1}^{\infty}a(n)e^{-\lambda_ns},
    on a de même[2],[3],[4] : pour tous réels c > max(0, σc) et y ∊ ]λn, λn + 1[,
    \sum_{k=1}^na(k)=\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{c-\mathrm i\infty}^{c+\mathrm i\infty}f(s)\frac{e^{sy}}s~\mathrm ds.

Formules effectives[modifier | modifier le code]

Première formule de Perron effective[modifier | modifier le code]

Soit f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}} pour \sigma>\sigma_c, d'abscisse de convergence absolue finie \sigma_a.

Alors on a[1], si x\ge 1, T\ge 1,  c >\max(0,\sigma_a),

\sum_{n \le x} a(n)=\frac1{2i\pi}\int_{c-iT}^{c+iT}f(s)\frac{x^{u}}{u}\; du+O\left(x^c\sum_{n\ge1}\frac{|a_n|}{n^c(1+T|\ln(x/n)|)}\right).

Seconde formule de Perron effective[modifier | modifier le code]

Soit f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}} pour \sigma>\sigma_c, d'abscisse de convergence absolue finie \sigma_a, et où |a_n|\le \psi(n), pour une fonction \psi(n) croissante (au sens large).

On suppose de plus que, pour un nombre réel \alpha\ge 0,

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{|a(n)|}{n^{\sigma}} = O\left(\frac1{(\sigma-\sigma_a)^\alpha}\right) quand \sigma_a<\sigma\le \sigma_a+1.

Alors on a[1], si x\ge 2, T\ge 2, \sigma\le\sigma_a, c:=\sigma_a-\sigma+1/\ln x,

\sum_{n \le x} \frac{a(n)}{n^{s}}=\frac1{2i\pi}\int_{c-iT}^{c+iT}f(u+s)\frac{x^{u}}{u}\; du+O\left( x^{\sigma_a-\sigma}\frac{(\ln x)^\alpha}T+\frac{\psi(2x)}{x^\sigma}\left(1+x\frac{\ln T}T\right)\right).

Preuves[modifier | modifier le code]

  • Pour les trois formules concernant les séries de Dirichlet classiques, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus[1],[5].
    « Soit h(x) la fonction valant 0 sur l'intervalle [0,1[, 1 sur l'intervalle x > 1 (et 1/2 pour x =1). Alors, pour tous c, T, T' > 0 :
    \forall x\ne 1\quad\left|h(x)-\frac1{2i\pi}\int_{c-iT'}^{c+iT} \frac{x^u}u~\mathrm du\right|\le\frac{x^c}{2\pi |\ln x|}\left(\frac1{T}+\frac1{T'}\right),
    \left|h(1)-\frac1{2i\pi}\int_{c-iT}^{c+iT} \frac1u~\mathrm du\right|\le\frac c{T+c}. »
    Il reste ensuite à multiplier par a_n/n^s et sommer sur n.
  • Une preuve[1] de la formule de Perron pour une série de Dirichlet classique consiste à appliquer d'abord ce lemme lorsque c est strictement supérieur à l'abscisse de convergence absolue σa de la série. Si on a seulement c > σc, alors c + 1 > σa et le théorème intégral de Cauchy permet de se ramener au cas précédent.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d et e Gérald Tenenbaum Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Paris, Belin, 2008
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Perron's Formula », MathWorld
  3. (en) Władysław Narkiewicz (de), The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood, Springer,‎ 2000 (lire en ligne), p. 196
  4. G. Valiron, « Théorie générale des séries de Dirichlet », Mémorial des sciences mathématiques, vol. 17,‎ 1926, p. 1-56 (lire en ligne), p. 9
  5. (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer,‎ 1976 (lire en ligne), p. 243-246