Transformation de Möbius

Ne doit pas être confondu avec transformée de Möbius.

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de $\R^n$ noté $\widehat{\R^n}$ , définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des hyperplans ou des hypersphères.

En particulier, si on identifie $\widehat{\R^2}$ à la sphère de Riemann $\widehat{\C}$ , alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme :

$M : z\mapsto{az+b \over cz+d}$

avec a, b, c et d quatre complexes tels que ad – bc ≠ 0, la formule ci-dessus étant à prendre au sens suivant si $z = \infty$ ou si $cz + d$ = 0 :

$\text{si }c\ne0,~M(-d/c)=\infty\text{ et }M(\infty)=a/c~;~\text{si }c=0,~M(\infty)=\infty.$

Sommaire

1 Définition générale
2 Exemples de transformations de Möbius
3 Propriétés générales
4 Les transformations de Möbius du plan complexe
5 Référence
6 Voir aussi

Définition générale [modifier]

Soit n un entier naturel, on munit $\mathbb R^n$ de sa structure euclidienne canonique et on définit alors les inversions de $\widehat{\R^n}$ par rapport à un hyperplan ou à une hypersphère (qu'on appellera parfois plan et sphère par abus de langage) :

pour un hyperplan $P(a,t)=\{x\in\R^n\mid x\cdot a=t\}\quad(a\in\R^n,t\in\R),$ l'inversion par rapport à $P (a, t)$ , notée $σ P (a, t)$ , est la réflexion par rapport à l'hyperplan $P (a, t)$ et a donc pour expression : $\sigma_{P(a,t)}(x)=\begin{cases}x-2\frac{(x\cdot a)-t}{\|a\|^2}a&\text{si }x\ne\infty,\\\infty&\text{si }x=\infty\end{cases}$
pour une sphère $S(a,r)=\{x\in\R^n\mid\|x-a\|=r\}\quad(a\in\R^n,r\in\R^+),$ l'inversion par rapport à $S (a, r)$ , notée $σ S (a, r)$ , s'exprime par : $\sigma_{S(a,r)}(x)=\begin{cases}a+\frac{r^2}{\|x-a\|^2}(x-a)&\text{si }x\notin\{\infty,a\},\\a&\text{si }x=\infty,\\\infty&\text{si }x=a.\end{cases}$

On remarque que les inversions sont involutives : si σ est une inversion, σ² = Id.

De plus, ces inversions sont des homéomorphismes.

Définition — L'ensemble des transformations de Möbius, est le sous-groupe des homéorphismes de $\widehat{\R^n}$ engendré par les inversions, c'est-à-dire l'ensemble des composées d'un nombre fini d'inversions. On le note souvent $\mathcal GM (\widehat{\R^n})$ .
Le groupe de Möbius $\mathcal M (\widehat{\R^n})$ est l'ensemble des transformations de Möbius qui préservent l'orientation. C'est un sous-groupe de $\mathcal GM (\widehat{\R^n})$ .

Exemples de transformations de Möbius [modifier]

Les principaux exemples de transformations de Möbius sont :

les isométries de $\mathbb R^n$ (par composition de n réflexions au plus), parmi lesquelles les translations (par composition de deux réflexions),
les homothéties par composition de deux inversions par rapport à des sphères puis d'une isométrie).

Une transformation de Möbius particulière est très utile en géométrie hyperbolique : l'inversion dans $\mathbb R^{n+1}$ par rapport à la sphère S(e_n+1, √2) qui, restreinte à $\mathbb R^n$ , correspond à la projection stéréographique de $\mathbb R^n$ sur Sⁿ = S(0, 1) dans $\mathbb R^{n+1}$ . C'est en fait le difféomorphisme naturel entre le demi-espace ℋⁿ⁺¹ = { x | x_n+1 > 0 } et la boule Bⁿ⁺¹ = { x | ‖x‖ < 1 } : il fait le pont entre deux points de vue pour la géométrie hyperbolique.

Propriétés générales [modifier]

Dorénavant, on appelle sphère soit une sphère soit un plan (Beardon 1995). En remarquant que les inversions transforment les sphères en sphères, on obtient :

Propriété — Les transformations de Möbius transforment les sphères en sphères

ce qui constitue une de leurs caractéristiques fondamentales.

Le théorème suivant est tout aussi important :

Théorème — Soit $Σ$ une sphère et $ϕ$ une transformation de Möbius qui fixe chaque point de $Σ$ . Alors $ϕ$ est soit l'identité, soit l'inversion par rapport à $Σ$ .

Il permet notamment de montrer l'unicité de l'extension de Poincaré d'une transformation $\phi\in\mathcal{GM}(\widehat{\R^n})$ : c'est l'unique élément $\tilde\phi \in\mathcal{GM}(\widehat{\R^{n+1}})$ qui conserve ℋⁿ⁺¹ et dont la restriction à ℝⁿ est $\phi$ , en considérant ℝⁿ comme l'hyperplan de ℝⁿ⁺¹ constitué des points dont la (n + 1)-ième coordonnée est nulle. Pour démontrer l'existence d'une telle extension, il suffit de la définir pour les inversions, l'extension d'une composée d'inversions étant alors la composée des extensions de ces inversions. Si $a\in\R^n$ , on note $\tilde a$ l'élément de ℝⁿ⁺¹ dont les n premières coordonnées sont celles de a, la (n + 1)-ième étant nulle. L'inversion par rapport à $P(a,t)$ sera alors naturellement étendue en l'inversion par rapport à $P(\tilde a,t)$ , et de même $\tilde\sigma_{S(a,r)}=\sigma_{S(\tilde a,r)}$ . On a la propriété remarquable suivante :

Propriété — L'extension de Poincaré de $\phi\in\mathcal{GM}(\widehat{\R^n})$ est une isométrie de ℋⁿ⁺¹ muni de la métrique hyperbolique $\frac{\mathrm dx}{x_{n+1}}$ .

Les transformations de Möbius du plan complexe [modifier]

Forme générale [modifier]

Les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme

$g(z)={az+b \over cz+d}\text{ avec }ad-bc\neq 0.$

Réciproquement, une telle fonction est bien une transformation de Möbius par composition des fonctions suivantes ( $g=f_3\circ f_2\circ f_1$ ) :

$f_1(z)= z+d/c$ (translation)
$f_2(z)= 1/z$ (inversion par rapport à la sphère unité puis réflexion par rapport à la droite réelle)
$f_3(z)=\frac{bc-ad}{c^2}z+\frac ac$ (similitude directe)

Détermination d'une transformation de Möbius du plan [modifier]

Si $z_1, z_2$ et $z_3$ sont des points tous distincts ainsi que $w_1, w_2, w_3$ , alors il existe une unique transformation de Möbius $g\in\mathcal M(\widehat{\C})$ telle que $g(z_1)=w_1$ , $g(z_2)=w_2$ et $g(z_3)=w_3$ . Autrement dit :

Propriété — L'action de $\mathcal M(\widehat{\C})$ sur $\widehat{\C}$ est strictement 3-tansitive.

En effet, en résolvant

$A(z_1)=0,~A(z_2)=1\text{ et }A(z_3)=\infty$

on trouve comme unique solution $A\in\mathcal M(\widehat{\C})$ :

$A(z)=\begin{cases}\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)}&\text{si }z_1,z_2,z_3\ne\infty\\ \frac{z_2-z_3}{z-z_3}&\text{si }z_1=\infty\\ \frac{z-z_1}{z-z_3}&\text{si }z_2=\infty\\ \frac{z-z_1}{z_2-z_1}&\text{si }z_3=\infty \end{cases}$

et de même on peut construire B telle que $B(w_1)=0$ , $B(w_2)=1$ et $B(w_3)=\infty$ . Alors, g répond à la question si et seulement si Bg coïncide avec A en $z_1, z_2$ et $z_3$ donc si et seulement si g = B⁻¹A.

Représentation par des matrices [modifier]

En associant à toute matrice $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ telle que $ad-bc\ne 0$ la transformation de Möbius $g_A$ définie par $g_A(z) = \frac{a z + b}{c z + d}$ , on obtient un morphisme de groupes de GL₂(ℂ) dans $\mathcal M(\widehat{\C})$ . En effet, un calcul algébrique trivial montre que $g_{AB}=g_A\circ g_B$ .

De plus, ce morphisme est surjectif et son noyau est réduit aux homothéties. On a ainsi :

$\mathcal M(\widehat{\C})\simeq{\rm PGL}_2(\C)={\rm GL}_2(\C)/\C^*{\rm I}_2\simeq{\rm PSL}_2(\C)={\rm SL}_2(\C)/\{-{\rm I}_2,+{\rm I}_2\}.$

Extension de Poincaré [modifier]

Nous avons vu dans les propriétés générales que les transformations de Möbius admettent une extension de Poincaré. Nous allons l'expliciter dans le cas d'une transformation du plan complexe en considérant ℝ³ comme le ℝ-sous-espace vectoriel de base $(1, i, j)$ du corps des quaternions. Si on a $g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}$ alors son extension de Poincaré a pour expression :

$\forall z\in\C, t\in \R^+_*,\quad\tilde g(z+t{\rm j})=\frac{(az+b)\overline{(cz+d)}+a\bar ct^2+|ad-bc|t{\rm j}}{|cz+d|^2+|c|^2t^2}.$

Classification [modifier]

Par stricte 3-transitivité de l'action, une transformation de Möbius du plan différente de l'identité ne peut admettre que 1 ou 2 points fixes, ce qui pourrait être un critère de classification. Cependant, un critère plus précis est le nombre de points fixes de son extension de Poincaré (1, 2 ou une infinité) : si on définit les transformations normales $m_k$ , $k\in\C$ par

$m_k:z\mapsto kz\text{ si }k\ne 1$

$m_1:z\mapsto z+1$

on s'aperçoit que chaque transformation de Möbius est conjuguée à une unique transformation normale $m_k$ , avec

$k=1$ si $\tilde g$ possède un point fixe,
$|k|\ne 1$ si $\tilde g$ a deux points fixes et
$|k|=1, k\ne 1$ si $\tilde g$ a une infinité de points fixes.

Enfin, la trace au carré d'un représentant $A\in{\rm PSL}_2(\C)$ de $g$ (qui est invariante par conjugaison et caractérise $m_k$ modulo les conjugaisons) permet elle aussi de caractériser le nombre de points fixes de $\tilde g$ . On définit alors les termes de transformation loxodromique, parabolique ou elliptique, ce qui est résumé dans le tableau suivant :

Transformation	Points fixes de $\tilde g$	Trace au carré $\sigma$	Forme normale	Représentant
Parabolique	$1$	$\sigma = 4$	$m_1$	$\begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}$	$z\mapsto z + a$
Loxodromique	$2$	$\sigma\in\C, \sigma \not\in [0,4]$	$m_k, \|k\| \neq 1$ $k = \lambda^{2}, \lambda^{-2}$	$\begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1}\end{pmatrix}$	$z \mapsto k z$
Elliptique	$\infty$	$0 \leq \sigma < 4$	$m_k,$ $k={\rm e}^{\pm{\rm i}\theta}\ne1$	$\begin{pmatrix}{\rm e}^{{\rm i}\theta/2}&0\\0&{\rm e}^{-{\rm i}\theta/2}\end{pmatrix}$	$z\mapsto{\rm e}^{{\rm i}\theta}z$

On peut encore affiner cette classification dans le cas loxodromique : g sera hyperbolique si sa trace au carré est réelle, strictement loxodromique dans le cas contraire.

Projection stéréographique [modifier]

La projection stéréographique envoie le plan complexe sur la sphère de Riemann, sur laquelle on aperçoit plus aisément l'action des transformations de Möbius, comme en témoignent les représentations suivantes.