Demi-plan de Poincaré

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Le demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski.

Le demi-plan de Poincaré (1882)[modifier | modifier le code]

Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique.

Géométrie[modifier | modifier le code]

On considère le demi-plan supérieur :

\mathcal H_2=\left\{z=x+iy~|~y>0\right\}.

Métrique[modifier | modifier le code]

On munit le demi-plan supérieur de la métrique :

\mathrm ds^2=\frac{a^2 \, \left(\mathrm dx^2+\mathrm dy^2\right)}{y^2}.

Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative :

R=-\frac1{a^2}.

On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : a = 1 pour simplifier les équations.

Géodésiques[modifier | modifier le code]

Les géodésiques[1] sont les demi-droites (au sens euclidien) verticales : x = cte (en rouge) et les demi-cercles (au sens euclidien) perpendiculaires à l'axe des abscisses  : y = 0 (en bleu) :

Geodes.GIF

Homographies[modifier | modifier le code]

Le groupe de matrices GL2+(R) agit sur cet espace, par homographies[2]. Plus précisément, soit g un élément de GL2+(R) :

g=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad\mathrm{det}(g)=ad-bc>0.

Son action sur un point z du demi-plan est donnée par la transformation de Möbius :

g(z)=\frac{az+b}{cz+d}.

Groupes Fuchsiens[modifier | modifier le code]

Formes automorphes[modifier | modifier le code]

Dynamique chaotique[modifier | modifier le code]

Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit. Pour plus de détails, voir la section « Dynamique chaotique » de l'article « Géométrie hyperbolique ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. On pourra consulter le site du mathématicien Andrew G. Bennett (université du Kansas) qui contient 3 applets java sur les géodésiques, les cercles hyperboliques et les triangles hyperboliques.
  2. Le groupe GL2+(R) est le sous-groupe de GL2(R) formé par les matrices de déterminant positif.