Fonction homographique

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En mathématiques, une fonction homographique est une fonction qui peut être représentée sous la forme d'un quotient de deux fonctions affines. La fonction inverse est une fonction homographique particulière.

Définition[modifier | modifier le code]

Dans un corps commutatif K (typiquement : R ou C), une homographie est une fonction de K dans lui-même définie par :

f(x) = \frac{ax+b}{cx + d}

a, b, c et d sont des éléments de K et ad – bc est non nul.

On interdit que ad – bc soit nul car la fonction correspondante serait constante.

Il arrive que la condition « c non nul » soit ajoutée[1], car le cas c= 0 correspond aux fonctions affines ; on perd alors la structure de groupe de l'ensemble des fonctions homographiques muni de la composition d'applications.

Cette fonction détermine une bijection de K\{–d/c} dans K\{a/c}, de bijection réciproque

f^{-1}(x)=-\frac{dx - b}{cx-a}.

Le nom provient de ce que si l'on rajoute à K un point à l'infini ω de sorte à en faire une droite projective, et si l'on prolonge f par f(–d/c) = ω et f(ω) = a/c, on obtient une application projective, aussi appelée « homographie », de \hat K=K\cup \{ \omega \}, or les homographies (plus celles du plan que celles de la droite il est vrai)[pas clair] transforment un graphique en un graphique ayant des homologies avec celui de départ.

Dérivée et variations[modifier | modifier le code]

Dans le cas réel ou complexe, sa dérivée est

f'(x) = \frac{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} }{(cx+d)^2}

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc est le déterminant de \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

On en déduit que les variations de la fonction homographique sont les suivantes :

  • Si ad − bc est strictement négatif, alors f est strictement décroissante sur ses deux intervalles de définition ;
  • Si ad − bc est strictement positif, alors f est strictement croissante sur ses deux intervalles de définition.

Forme canonique[modifier | modifier le code]

Dans le cas où c est non nul, la forme canonique (aussi appelée forme réduite) d'une fonction homographique s'écrit :

f(x) = \frac{\alpha}{x - \beta}+\gamma

où :

\alpha=(bc-ad)/c^2

\beta=-d/c

\gamma=a/c

En effectuant un changement de repère dans un nouveau repère d'origine S de coordonnées (\beta, \gamma), l'expression de la fonction homographique devient :

f(X) = \frac{\alpha}{X}

ce qui correspond à la fonction inverse multipliée par le scalaire \alpha=(bc-ad)/c^2[2].

Représentation graphique[modifier | modifier le code]

Exemples de représentation graphique de fonctions homographiques

Dans le cas où c est non nul, sa représentation graphique dans le cas réel est une hyperbole qui se déduit de l'hyperbole d'équation y = 1/x par une affinité d'axe (Ox), de direction (Oy), et de rapport \alpha suivie d'une translation de vecteur \vec{u} = \begin{pmatrix} \beta \\ \gamma \end{pmatrix}.

Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour asymptotes les deux droites d’équation x=\beta et y=\gamma  ; le point S d’intersection des deux asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe[3].

Dans le plan complexe[modifier | modifier le code]

À chaque fonction homographique complexe, on peut associer une fonction ponctuelle F qui, au point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe f(z).

On peut distinguer les cas suivants

  • si c = 0 alors F est une similitude directe
  • si c est non nul, on peut prouver que F est la composée d'une inversion et de similitudes

Une homographie non triviale a un ou deux points fixes, car résoudre f(z) = z revient, en multipliant par le dénominateur de f, à résoudre un trinôme du second degré.

Une homographie est déterminée par les images de trois points.

La fonction F conserve le birapport de 4 points, et réciproquement toute bijection qui conserve le birapport de quatre points est une homographie.

Propriété géométriques des coniques[modifier | modifier le code]

Une fonction homographique peut servir à tracer une conique. Pour cela il suffit de prendre deux tangentes à cette conique, sur la première tangente prendre un point X de coordonnée x, de faire une transformation homographique y = f(x) avec les paramètres a, b, c et d judicieusement choisis et de placer sur la deuxième tangente le point Y de coordonnée y. La droite (XY) sera tangente à la conique, mais on ignore la position du point de contact sur cette droite. Exemple : Construction d'une parabole tangente par tangente. De même on peut tracer une conique point à point en faisant subir une fonction homographique aux coordonnées de deux faisceaux de droites. Exemple : Construction d'un cercle point par point.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Les fonctions homographiques se composent comme des matrices en coordonnées homogènes :

{\rm si}\quad f(x) = \frac{ax+b}{cx + d}\quad{\rm et}\quad g(x)=\frac{a' x+b'}{c'x + d'}\quad{\rm alors}\quad f(g(x))=\frac{a''x+b''}{c''x + d''}


\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}a' & b' \\ c' & d' \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}a'' & b'' \\ c'' & d''\end{bmatrix}.

Ceci montre qu'on a un morphisme de groupes surjectif, des matrices carrées de taille 2 à coefficients dans K inversibles vers l'ensemble des homographies, via l'application

\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} \mapsto \left(z\mapsto \frac{az+b}{cz+d} \right),

dont le noyau est l'ensemble des matrices telles que a = d et b = c = 0 : c'est l'ensemble des homothéties non nulles.

Plus précisément, on a ainsi une représentation du groupe SL2(K) dans celui des fonctions homographiques (à un problème de définition près au point –d/c), dont le noyau est le centre de SL2(K).

Référence[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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