Action par conjugaison

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, une action par conjugaison est un cas particulier d'action de groupe. L'ensemble X sur lequel agit le groupe G est ici le groupe G lui-même.

Dans cet article :

(G,*) désigne un groupe, noté multiplicativement, de neutre e.

La loi * du groupe est le plus souvent sous-entendue.

Définitions[modifier | modifier le code]

  • Soit g un élément de G, l'application autg de G dans G, qui à x associe gxg-1 est appelée automorphisme intérieur associé à g :
\forall x \in G \quad aut_g(x)=gxg^{-1}

Cette application est bien bijective car elle est composée de deux bijections, une translation à droite et une translation à gauche ; on vérifie le fait qu'elle est bien un morphisme :

\forall x,y \in G \quad aut_g(x).aut_g(y)=gxg^{-1}\; gyg^{-1}=gxyg^{-1}=aut_g(xy)\;

On définit une nouvelle loi interne par :

{\mathrm{loi} }\, \cdot \left\{ \begin{array}{rcl} G \times G & \rightarrow & G \\ (g,x) & \mapsto & g \cdot x=aut_g(x)=gxg^{-1} \end{array}\right.
  • Cette loi interne de G constitue une action de groupe, appelée action de conjugaison.

Démonstration : on vérifie les deux conditions d'une action de groupe.

\forall x \in G,\ e \cdot x = e x e^{-1}=x car e est le neutre de G

\forall (g,g') \in G\times G,\ \forall x \in E  :

 g' \cdot (g \cdot x)= g' \cdot (g x g^{-1}) = g' g x g^{-1} g'^{-1} =(g' g) x (g' g)^{-1} = (g' g) \cdot x

  • Pour tout g appartenant à G, la classe de g par l'action par conjugaison est appelée classe de conjugaison de g et est notée Cj(g) :
 C_j(g)=\{ xgx^{-1} \ |\ x\in G\}

Tout élément de Cj(g) est appelé conjugué de g.

Applications[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Les classes de conjugaison d'un groupe symétrique sont composées de produits de cycles à supports disjoints de même structure. Ceci signifie que le nombre de cycles de même longueur est le même pour chaque élément d'une classe de conjugaison.
  • Les classes de conjugaison d'un groupe alterné et du groupe simple d'ordre 168 sont étudiées dans l'article associé.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Quand G est commutatif, l'action par conjugaison est l'identité.
  • Les classes de conjugaison constituent une partition de G associée à la relation d'équivalence :
x \sim y \ \Leftrightarrow \ \exists g \in G \quad y=g*x*g^{-1} .
  • Un élément g de G laisse invariant tout élément de G si et seulement si g appartient au centre Z(G) de G :

[\forall x\in Z \quad g*x*g^{-1}=x] \qquad \Leftrightarrow \qquad [\forall x\in Z \quad g*x=x*g].

On peut donc restreindre l'action par conjugaison au groupe quotient G/Z(G). Alors f_g = f_{g'} ssi g = g' mod[Z(G)], où f_g est l'automorphisme intérieur défini par \forall x \in G,\ f_g(x) = g*x*g^{-1}.

  • De même z opère identiquement sur x (l'action par conjugaison de z stabilise x) si et seulement si z est élément du centralisateur Z_x de x. La formule des classes montre alors que, si Cx désigne la classe de conjugaison de x :
\forall x \in G \quad Card (C_x)=\frac{Card (G)}{Card (Z_x)},

en particulier le cardinal de toute classe de conjugaison divise le cardinal de G.

Par ailleurs, Cx est réduit à {x} si et seulement si x appartient au centre de G. En choisissant un représentant xi par classe de conjugaison disjointe du centre, la formule précédente donne donc l'équation aux classes :

Card(G)=Card(Z(G))+\sum_i\frac{Card (G)}{Card (Z_{x_i})}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]