Action par conjugaison

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Une action par conjugaison est un cas particulier d'action de groupe dans la théorie des groupes en mathématiques. L'ensemble $X$ sur lequel agit le groupe $G$ est ici le groupe $G$ lui-même.

Dans cet article :

$(G,*)$ désigne un groupe, noté multiplicativement, de neutre $e$.

La loi $*$ du groupe est le plus souvent sous-entendue.

Définitions

• Soit g un élément de G, l'application aut_g de G dans G, qui à x associe gxg^-1 est appelée automorphisme intérieur associé à g :

$\forall x \in G \quad aut_g(x)=gxg^{-1}$

Cette application est bien bijective car elle est composée de deux bijections, une translation à droite et une translation à gauche ; on vérifie le fait qu'elle est bien un morphisme :

$\forall x,y \in G \quad aut_g(x).aut_g(y)=gxg^{-1}\; gyg^{-1}=gxyg^{-1}=aut_g(xy)\;$

On définit une nouvelle loi interne par :

${loi }\, \cdot \left\{ \begin{matrix} G \times G \rightarrow G \\ (g,x) \mapsto g \cdot x=aut_g(x)=gxg^{-1} \end{matrix}\right.$

• Cette loi interne de G constitue une action de groupe, appelée action de conjugaison.

Démonstration : on vérifie les deux conditions d'une action de groupe.

$\forall x \in G,\ e \cdot x = e x e^{-1}=x$ car $e$ est le neutre de $G$

$\forall (g,g') \in G\times G,\ \forall x \in E$ :

$g' \cdot (g \cdot x)= g' \cdot (g x g^{-1}) = g' g x g^{-1} g'^{-1}$ $=(g' g) x (g' g)^{-1} = (g' g) \cdot x$

• Pour tout g appartenant à G, la classe de g par l'action par conjugaison est appelée classe de conjugaison de g et est notée C_j(g) :

$C_j(g)=\{ xgx^{-1} \ |\ x\in G\}$

Tout élément de C_j(g) est appelé conjugué de g.

Applications

• Les classes de conjugaison sont utilisées pour la démonstration du théorème de Wedderburn stipulant que tout corps fini est commutatif.
• Dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, les classes de conjugaison sont à la base de la définition des fonctions centrales d'un groupe fini, elles servent à définir l'espace vectoriel, les caractères des représentations. Dans le même contexte, on les retrouve pour l'analyse du centre d'une algèbre d'un groupe.
• Les automorphismes intérieurs sont utilisés pour la démonstration des théorèmes de Sylow, du théorème de Frattini et dans de nombreuses démonstrations concernant les groupes.
• La diagonalisation de matrices consiste à trouver une bonne action par conjugaison égale à une matrice donnée.
• La conjugaison d'un quaternion purement imaginaire par un quaternion unitaire équivaut à la rotation d'un vecteur de l'espace à trois dimensions. La conjugaison d'un quaternion purement imaginaire par un quaternion quelconque équivaut à une similitude.

Exemples

• Les classes de conjugaison d'un groupe symétrique sont composées de produits de cycles à supports disjoints de même structure. Ceci signifie que le nombre de cycles de même longueur est le même pour chaque élément d'une classe de conjugaison.
• Les classes de conjugaison d'un groupe alterné et du groupe simple d'ordre 168 sont étudiées dans l'article associé.

Propriétés

• Les classes de conjugaison constituent une partition de G associée à la relation d'équivalence :

$x \sim y \ \Leftrightarrow \ \exists g \in G \quad y=g*x*g^{-1}$.

• Un élément g de G laisse invariant tout élément de G si et seulement si g appartient au centre Z(G) de G :

$[\forall x\in Z \quad g*x*g^{-1}=x] \qquad \Leftrightarrow \qquad [\forall x\in Z \quad g*x=x*g]$.

On peut donc restreindre l'action par conjugaison au groupe quotient G/Z(G). Alors $f_g = f_{g'}$ ssi g = g' mod[Z(G)], où $f_g$ est l'automorphisme intérieur défini par $\forall x \in G,\ f_g(x) = g*x*g^{-1}$.

• De même z opère identiquement sur x (l'action par conjugaison de z stabilise x) si et seulement si z est élément du centralisateur $Z_x$ de x. La formule des classes montre alors que, si C_x désigne la classe de congugaison de x :

$\forall x \in G \quad Card (C_x)=\frac{Card (G)}{Card (Z_x)},$

en particulier le cardinal de toute classe de conjugaison divise le cardinal de G.

Par ailleurs, C_x est réduit à {x} si et seulement si x appartient au centre de G. En choisissant un représentant x_i par classe de conjugaison disjointe du centre, la formule précédente donne donc l'équation aux classes :

$Card(G)=Card(Z(G))+\sum_i\frac{Card (G)}{Card (Z_{x_i})}.$

Voir aussi

• Action de groupe
• Centralisateur
• Sous-groupe normal