Inversion (géométrie)

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En géométrie, une inversion est une transformation qui inverse les distances par rapport à un point donné, appelé centre de l'inversion. Cela signifie en substance que l'image d'un point est d'autant plus éloignée du centre de l'inversion, que le point d'origine en est proche.

Définition générale dans le cadre d’un espace affine euclidien[modifier | modifier le code]

Soit \scriptstyle\mathcal E un espace affine euclidien, \Omega un point de \scriptstyle\mathcal E et k un réel non nul, alors pour tout point M de \scriptstyle\mathcal E distinct de \Omega, il existe un unique point M' de \scriptstyle\mathcal E tel que :

  • \Omega, M et M' sont alignés ;
  • \overline{\Omega M} \times \overline{\Omega M'} = k (produit des valeurs algébriques).

On peut ainsi définir l’inversion de centre \Omega et de rapport k comme l’application de \scriptstyle\mathcal E\setminus\{\Omega\} dans lui-même qui, à un point M, associe l’unique point M' correspondant aux caractéristiques précédentes.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Une inversion de rapport non nul est bijective.
  • Une inversion est une involution : elle est sa propre bijection réciproque.
  • On appelle sphère d’inversion (ou cercle d’inversion dans le plan) la sphère de centre \Omega et de rayon \sqrt{|k|}. Elle est toujours globalement invariante, et elle est invariante point par point lorsque le rapport est positif.
  • Les hyperplans passant par \Omega sont aussi des invariants globaux.

Le principal intérêt des inversions est la propriété de conservation hyperplans/hypersphères (ou des droites/cercles dans le plan) :

ThéorèmeL’ensemble constitué par les hypersphères et les hyperplans est stable par inversion.

Autrement dit, l’image, par une inversion, d’une hypersphère ou d’un hyperplan, est une hypersphère ou un hyperplan. Mais il est parfaitement possible que l’image d’une hypersphère (resp. d’un hyperplan) soit un hyperplan (resp. une hypersphère).

Dans le plan[modifier | modifier le code]

Dans le plan affine euclidien[modifier | modifier le code]

Dans le plan affine euclidien, l’inverse d’un point est constructible au compas lorsqu’on connait le cercle d'inversion, ce qui permet de démontrer le :

Théorème de Mohr et Mascheroni
Toute construction à la règle et au compas peut se faire uniquement au compas (à l’exception des tracés des portions de droites).
Inverseur Peaucellier.svg

Signalons aussi l’existence de « machines à inversion », l’inverseur de Peaucellier, utilisé pour transformer un mouvement rectiligne en mouvement circulaire :

L'inverseur est un objet mécanique avec deux barres OP et OQ de longueur fixe r_1 et 4 autres barres MP, MQ, M'P, M'Q de longueurs fixes r_2 avec les points de pivots aux sommets du losange OMPQM'.

Pour un point O du plan affine euclidien et un rapport \scriptstyle k=r_1^2-r_2^2, avec 0 < r_2 < r_1, on peut construire l’inverse géométrique, pour l’inversion de centre O et de rapport k, de tout point dans la couronne centrée en O, de rayon intérieur r_1 - r_2, et de rayon extérieur r_1 + r_2 de la façon suivante :
  • Un point M dans la couronne étant donnée, il existe deux points d’intersection P et Q du cercle de centre O et de rayon r_1, et du cercle de centre M et de rayon r_2
  • Puis on construit l’unique point M' tel que PMQM' soit un losange.
  • L’application qui à M fait correspondre M' est bien l’inversion cherchée.

Dans le plan complexe[modifier | modifier le code]

Dans le plan complexe, une inversion particulière est celle par rapport au cercle unité ; en termes d’affixe complexe, elle est codée par l'application z \mapsto \frac{1}{\overline{z} }=\frac{z}{|z|^2}. On voit ainsi que cette inversion est composée de la conjugaison complexe et d’une homographie.

C’est en fait un résultat général : un cercle d’inversion étant donné, on choisit trois points z_1, z_2, z_3 sur ce cercle, puis l’unique homographie f qui envoie z_1, z_2, z_3 respectivement sur 0, 1, \infty. On vérifie alors que l’application f^{-1} \circ c \circ f, où c dénote la conjugaison complexe, est précisément l’inversion cherchée, et son écriture comme composée d’une homographie et de la conjugaison complexe découle de l’écriture de f et f^{-1} comme homographie.

On fait ensuite le lien avec le groupe circulaire, qui est l’ensemble des transformations, définies en fait sur la droite projective complexe, et qui envoient les droites et les cercles sur des droites et des cercles ; en identifiant la droite projective complexe à la sphère de Riemann, cette propriété de conservation s’exprime plus simplement : ce sont les cercles tracés sur cette sphère qui sont conservés. Il est clair que les inversions appartiennent au groupe circulaire ; et relativement simple de montrer qu’il en est de même pour les homographies. On peut montrer ensuite qu’en fait, le groupe circulaire est engendré par inversions et homographies.

Géométrie anallagmatique[modifier | modifier le code]

La géométrie anallagmatique est l'étude (au sens du programme d'Erlangen) de la géométrie dont le groupe d'invariants est le groupe circulaire[réf. souhaitée] ; elle est aussi connue sous le nom de géométrie de Möbius, ou (dans l'espace) de géométrie conforme (en).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Transformation de Möbius

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]